Ekzemplo de diskutdemando pri la ekvacio de cirklo
La ekvacio de cirklo estas grava temo en analiza geometrio. Bona kompreno pri la ekvacio de cirklo estas ekstreme utila, ne nur en matematiko sed ankaŭ en diversaj inĝenieraj kaj sciencaj aplikoj. En ĉi tiu artikolo, ni diskutos plurajn ekzemplojn de ekvacioj de cirklo kaj iliajn solvojn. La celo estas provizi klaran kaj ampleksan superrigardon pri kiel solvi problemojn implikantajn ekvaciojn de cirklo.
Ĝenerala Ekvacio de Cirklo
La plej ofta ekvacio de cirklo en karteziaj koordinatoj estas:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Kie:
– \((a, b) \) estas la koordinatoj de la centro de la cirklo.
– \(r\) estas la radiuso de la cirklo.
Se la centro de la cirklo estas ĉe la punkto \((0, 0) \), la ekvacio de la cirklo estos:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Nun, ni diskutu kelkajn ekzemplajn demandojn kaj iliajn solvojn.
Ekzempla Demando 1
Demando: Difinu la ekvacion de cirklo, kies centro estas ĉe punkto (3, -2) kaj havas radiuson de 5.
Solvo:
Uzu la ĝeneralan formulon por la ekvacio de cirklo:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Anstataŭigu la valorojn ∫(a = 3), ∫(b = -2), kaj ∫(r = 5):
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Do, la ekvacio de la cirklo estas:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Ekzempla Demando 2
Demando: Difinu la ekvacion de cirklo, kies centro estas ĉe la origino (0, 0) kaj havas radiuson de 7.
Solvo:
Ĉar la centro de la cirklo estas ĉe la origino, ni povas uzi la simplan ekvacion:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Anstataŭigu la valoron \(r = 7 \):
\[ x^2 + y^2 = 7^2 \]
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
Do, la ekvacio de la cirklo estas:
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
Ekzempla Demando 3
Demando: Difinu la ekvacion de cirklo, kies centro estas ĉe punkto (4, -5) kaj tuŝas la Y-akson.
Solvo:
Cirklo tangenta al la Y-akso signifas, ke la distanco de la centro de la cirklo al la Y-akso egalas al ĝia radiuso. Ĉi tiu distanco estas la absoluta valoro de la X-koordinato de la centro de la cirklo. Do, la radiuso estas 4.
Uzu la ĝeneralan formulon por la ekvacio de cirklo:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Anstataŭigu la valorojn ∫(a = 4), ∫(b = -5), kaj ∫(r = 4):
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Do, la ekvacio de la cirklo estas:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Ekzempla Demando 4
Demando: Cirklo havas la ekvacion \(x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \). Difinu la centron kaj radiuson de la cirklo.
Solvo:
Por solvi ĉi tiun ekvacion, ni bezonas konverti ĝin al norma formo \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \). La paŝoj por kompletigi ĝin estas jenaj:
1. Grupigo kaj solvado de perfektaj kvadratoj:
La komenca ekvacio estas:
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \]
Grupo \(x\) kaj \(y\):
\[ (x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) = 12 \]
2. Solvu la perfektan kvadraton:
Por (x^2 – 6x):
\[ x^2 – 6x + 9 \]
Por (y² + 4y):
\[ y^2 + 4y + 4 \]
Aldonu 9 kaj 4 al ambaŭ flankoj de la ekvacio:
\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Do, la ekvacio de cirklo en norma formo estas:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
De ĉi tie, ni povas vidi, ke la centro de la cirklo estas \( (3, -2) \) kaj la radiuso estas \( r = \sqrt{25} = 5 \).
Ekzempla Demando 5
Demando: Difinu la ekvacion de la cirklo, kiu pasas tra la punktoj (2, 3) kaj (4, 5), kaj kies centro estas sur la rekto x = 3.
Solvo:
El la demando, ni scias, ke la centro de la cirklo estas (3, b). La cirklo ankaŭ pasas tra du konataj punktoj. Ĉar la cirklo pasas tra (2, 3), la distanco de la centro ĝis ĉi tiu punkto estas la radiuso.
La ekvacio de cirklo estas:
\[ (x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Anstataŭiga punkto (2, 3):
\[ (2 – 3)^2 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ (3 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Anstataŭiga punkto (4, 5):
\[ (4 – 3)^2 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ (5 – b)^2 = r^2 – 1 \]
El la du ekvacioj, ni scias (3 – b)^2 = (5 – b)^2. Do:
\[ 3 – b = \pm(5 – b) \]
Se \(3 – b = 5 – b \), la rezulto ne povas esti vera. Do:
\[ 3 – b = -(5 – b) \]
\[ b = 4 \]
Kun b = 4, la ekvacio de la cirklo estas:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Tamen, ni povas kalkuli la radiuson r el la distanco inter la centro kaj la punkto (2, 3) = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\)
La ekvacio de la cirklo estas:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Konkludo
Kompreni la ekvacion de cirklo povas simpligi la solvadon de multaj matematikaj problemoj. En ĉiu kazo, identigi la centron kaj radiuson estas decida. Espereble, ĉi tiuj ekzemplaj problemoj kaj iliaj klarigoj klarigas kaj helpas vin lerni la ekvacion de cirklo. Praktiko perfektigas en matematiko, do ne hezitu provi diversajn problemojn por plibonigi viajn kapablojn.
