Ekzempla Demando Diskutante la Adicion de Du Vektoroj Uzante la Paralelogramo-Metodon
Vektora adicio estas decida koncepto en fiziko kaj matematiko, ofte uzata por priskribi naturajn fenomenojn kaj ĉiutagajn problemojn. Ekzistas pluraj metodoj por adicii du vektorojn, unu el kiuj estas la paralelograma metodo. Ĉi tiu metodo estas ne nur intuicia, sed ankaŭ provizas potencan bildigon pri kiel du vektoroj kombiniĝas por formi rezultan vektoron. En ĉi tiu artikolo, ni rigardos plurajn ekzemplojn de vektora adicio uzante la paralelograman metodon, kune kun iliaj solvoj.
Kio estas Vektoro?
Antaŭ ol ni eniros la ekzemplajn problemojn, ni bezonas kompreni la bazan difinon de vektoro. Vektoro estas kvanto, kiu havas kaj magnitudon (longon) kaj direkton. Klasikaj ekzemploj de vektoroj inkluzivas rapidon, akcelon, forton kaj delokiĝon. Vektoro povas esti reprezentita kiel ĝiaj komponantoj (i, j, k) en karteziaj koordinatoj aŭ kiel ĝia longo kaj direkto (angulo).
Paralelograma Metodo
La metodo de paralelogramo estas unu maniero adicii du vektorojn. En ĉi tiu metodo, ni reprezentas du vektorojn kiel du flankojn de paralelogramo. La rezulta vektoro estas la diagonalo de la paralelogramo komencanta de la komenca punkto de la du vektoroj. Matematike, se ni havas du vektorojn \(\vec{A}\) kaj \(\vec{B}\), la rezultanto estas \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \).
La paŝon post paŝa metodo por uzi la paralelogrammetodon estas jena:
1. Desegnu la vektoron \(\vec{A}\) ekde la komenca punkto.
2. De la fino de la vektoro \(\vec{A}\), desegnu la vektoron \(\vec{B}\).
3. Streku linion paralelan al la vektoro \(\vec{B}\) ekde la komenca punkto \(\vec{A}\).
4. Streku linion paralelan al vektoro \(\vec{A}\) ekde la fino de la vektoro \(\vec{B}\).
5. Desegnu diagonalon de la komenca punkto al la kontraŭa angulo por ricevi la rezultan vektoron \(\vec{R}\).
Specimenaj Demandoj kaj Diskuto
Demando 1
Supozu, ke ni havas du vektorojn \(\vec{A}\) kaj \(\vec{B}\):
– \(\vec{A}\) havas longon (magnitudon) de 5 unuoj kaj direkton de 0° (aŭ laŭ la pozitiva x-akso),
– \(\vec{B}\) havas longon de 3 unuoj kaj direkton de 90° (aŭ laŭ la pozitiva y-akso).
Kio estas la rezulta valoro de adicio de ĉi tiuj du vektoroj uzante la paralelogrammetodon?
Diskuto:
1. Desegnu la vektoron \(\vec{A}\) laŭlonge de la pozitiva x-akso kun longo de 5 unuoj.
2. De la fino de la vektoro \(\vec{A}\), desegnu la vektoron \(\vec{B}\) laŭ la pozitiva y-akso kun longo de 3 unuoj.
3. De la komenca punkto \(\vec{A}\), desegnu linion paralelan al \(\vec{B}\).
4. De la fino de \(\vec{B}\), desegnu linion paralelan al \(\vec{A}\).
5. La rezulto estas paralelogramo kun diagonalo kiu estas la rezulta vektoro \(\vec{R}\).
Ĉar \(\vec{A}\) kaj \(\vec{B}\) estas perpendikularaj unu al la alia, ni povas uzi la pitagoran teoremon por kalkuli la longon de la rezulta vektoro:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \proksimume 5.83 \]
La direkto de la rezulta vektoro povas esti kalkulita per trigonometrio. Se θ estas la angulo inter la rezulta vektoro kaj A:
tan(θ) = B/A = 3/5
do:
\[ θ = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
Tiel, la rezulta vektoro \(\vec{R}\) havas magnitudon de ĉirkaŭ 5.83 unuoj kaj direkton de ĉirkaŭ 30.96° de \(\vec{A}\).
Demando 2
Du vektoroj \(\vec{C}\) kaj \(\vec{D}\) estas donitaj jene:
– \(\vec{C}\) kun longo de 4 unuoj kaj direkto de 45°.
– \(\vec{D}\) kun longo de 6 unuoj kaj direkto de 120°.
Determinu la rezultan vektoron \(\vec{R}\) el la adicio de la du vektoroj.
Diskuto:
Por adicii du vektorojn, kiuj ne estas perpendikularaj unu al la alia aŭ havas malsamajn formojn, oni povas uzi karteziajn komponantojn.
1. Dividu \(\vec{C}\) kaj \(\vec{D}\) en x kaj y komponantojn.
Por \(\vec{C}\):
\[ C_x = C ⋅ cos(45^⋅) = 4 ⋅ cos(45^⋅) = 4 ⋅ \sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \proksimume 2.83 \]
\[ C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
Por \(\vec{D}\):
D_x = D cos(120) = 6 cos(120) = 6 (-1/2) = -3
\[ D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.20 \]
2. Aldonu la x kaj y komponantojn de ambaŭ vektoroj:
\[ R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03\]
3. Kalkulu la magnitudon kaj direkton de la rezulta vektoro \(\vec{R}\):
R = R_x² + R_y² = (-0.17)² + 8.03² = 0.03 + 64.48 = 64.51 ~ 8.03
θ = tan^{-1}(R_y}{R_x) = tan^{-1}(8.03}{-0.17) ĉ. tan^{-1}(-47.24)
Ĉar la rezulto estas negativa, ni aldonas 180° por ricevi la angulon en la ĝusta kvadranta sistemo:
\[ θ ĉ. \tan^{-1}(47.24) + 180^\circ ĉ. 271.93^\circ \]
Do, la rezulta vektoro \(\vec{R}\) havas magnitudon de ĉirkaŭ 8.03 unuoj kaj direkton de ĉirkaŭ 271.93°, aŭ ni povas diri ĉirkaŭ 91.93° de la negativa x-akso en la kvara kvadranto.
Fermo
La metodo de paralelogramo estas efika kaj vida maniero por adicii du vektorojn. Kvankam ĉi tiu metodo povas ŝajni simpla por simplaj vektoroj, gravas kompreni, ke por pli kompleksaj vektoroj, ni ofte bezonas uzi karteziajn komponantojn kaj pli progresintajn algebrajn teknikojn por atingi precizajn rezultojn. Espereble, la ekzemploj supre donas klaran bildon pri kiel ĉi tiu metodo povas esti aplikata en diversaj situacioj.
