Ekzemplaj Demandoj kaj Diskuto pri la Apliko de Integraloj en Kalkulado de la Areo de Plata Ebeno
En matematika instruado, integraloj ofte troviĝas en kalkulo. Unu el la plej konataj aplikoj de integraloj estas la kalkulado de la areo sub kurbo aŭ ebeno. Ĉi tiu artikolo diskutos plurajn ekzemplajn problemojn kaj diskutos la aplikon de integraloj al la kalkulado de la areo de ebeno.
Enkonduko al Teorio
Antaŭ ol transiri al la ekzempla problemo, ni reviziu la bazan koncepton de kalkulado de la areo sub kurbo uzante integralojn. Se ni havas funkcion f(x) kiu estas kontinua sur la intervalo [a, b], tiam la areo sub la kurbo y = f(x) de x = a ĝis x = b estas:
L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Geometrie, tio signifas, ke ni sumigas la areon de tre maldika rektangulo de x = a ĝis x = b.
Ekzempla Demando 1
Demando
Kalkulu la areon sub la kurbo y = x² en la intervalo [1, 3].
Diskuto
Por kalkuli la areon, ni uzas la integralon:
L = 1/3 x³, dx
Ni komencas per trovi la kontraŭderiviton de \( x^2 \). La kontraŭderivito de \( x^2 \) estas \( \frac{x^3}{3} \). Tiam la integralo fariĝas:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
Memoru, ke ni devas taksi la kontraŭderiviton laŭ la limoj de la integralo:
\[ L = ( \frac{3^3}{3} \right) – ( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = ( \frac{27}{3} \right) – ( \frac{1}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
Do, la areo sub la kurbo y = x² de x = 1 ĝis x = 3 estas:
\[ \frac{26}{3} \, \text{areunuo} \]
Ekzempla Demando 2
Demando
Difinu la areon de la regiono limigita de la kurbo y = x³ kaj la linioj x = 1 kaj x = 2.
Diskuto
Por kalkuli la areon, ni uzas la integralon:
L = 1/2 x³, dx
Kiel kutime, ni komencas per trovi la kontraŭderiviton de \( x^3 \). La kontraŭderivito de \( x^3 \) estas \( \frac{x^4}{4} \). La integralo fariĝas:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
Kalkulu la limojn de la integralo:
\[ L = ( \frac{2^4}{4} \right) – ( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = ( \frac{16}{4} \right) – ( \frac{1}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
Do, la areo sub la kurbo y = x³ de x = 1 ĝis x = 2 estas:
\[ \frac{15}{4} \, \text{areunuo} \]
Ekzempla Demando 3
Demando
Difinu la areon de la regiono limigita de la kurboj y = x² + 1 kaj y = 2x + 2 en la intervalo x = 0 ĝis x = 1.
Diskuto
Unue, ni bezonas trovi la intersekciĝojn por determini la limojn de la integriĝo. La solvo al \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Uzante la kvadratan formulon:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Tamen, por la supra kaj malsupra limoj inter 0 kaj 1, ni ne bezonas uzi la kvadratan solvon, nur la ordinaran integralan limon de 0 ĝis 1. Poste, kalkulu la areon de la supra y-kurbo minus la malsupra y-kurbo laŭ ĉi tiuj limoj:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Funkcia simpligo:
L = ∫_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) dx
L = 0^1 (-x^2 + 2x + 1) dx
Poste, ni trovas la kontraŭderiviton:
La kontraŭderivaĵo de \( (-x^2) \) estas \( -\frac{x^3}{3} \),
La kontraŭderivaĵo de (2x) estas x^2
La kontraŭderivaĵo de \( (1) \) estas \( x \).
Tiel ke,
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Sekva taksado:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
Do, la areo de la regiono limigita de la kurboj y = x² + 1 kaj y = 2x + 2 sur la intervalo [0, 1] estas:
\[ \frac{5}{3} \, \text{areunuo} \]
-
El la ekzemploj supre, ni povas vidi kiel integraloj povas esti uzataj por kalkuli la areon sub kurbo aŭ inter du kurboj. Kun ĝusta kompreno de la bazaj konceptoj de integraloj kaj kontraŭderivitaj teknikoj, kalkuli ĉi tiujn areojn fariĝas tre sistema kaj efika. Espereble, ĉi tiu artikolo pliigis nian komprenon pri la apliko de integraloj en la reala mondo, precipe en la kampo de mezurado de la areo de ebenaj surfacoj.
