Ekzemplo de diskuta demando pri la atendata valoro de normala distribuo
La normala distribuo, ankaŭ konata kiel la Gaŭsa distribuo, estas unu el la plej ofte uzataj kontinuaj probablodistribuoj en statistiko kaj probablokalkulo. Ĉi tiu distribuo ofte estas uzata kiel baza supozo en diversaj statistikaj inferencoj pro siaj favoraj matematikaj ecoj, kiel ekzemple simetrio kaj sia unikeco en parametrigo kun meznombro (µ) kaj norma devio (σ). Ĉi tiu artikolo diskutos ekzemplojn kaj diskutos la atendatan valoron de la normala distribuo por provizi pli profundan komprenon pri ĉi tiu koncepto.
Kompreni Normalan Distribuon
La normala distribuo estas montrata per simetria sonorilkurbo, kun plej multaj valoroj koncentritaj ĉirkaŭ la meza valoro, aŭ meznombro. Ene de ĉi tiu distribuo, la meznombro (µ) kaj la norma devio (σ) estas du gravaj parametroj, kiuj determinas la lokon kaj kvanton de disvastiĝo en la datumoj.
La probablodensa funkcio (PDF) de la normala distribuo estas:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\]
Kie:
– \( \mu \) estas la meznombro aŭ averaĝo
– σ estas la norma devio
– \(x \) estas hazarda variablo
Atendata valoro en normala distribuo
La atendata valoro de hazarda variablo kun normala distribuo egalas al la meznombro de la distribuo. Se ∫(X)∫N(μ, σ²)∫, tiam la atendata valoro ∫(E(X)) estas:
E(X) = μ
Ni daŭrigu per kelkaj ekzemploj de problemoj rilate al atenditaj valoroj en normalaj distribuoj por plifortigi nian komprenon.
Specimenaj Demandoj kaj Diskuto
Ekzempla Demando 1:
Supozu ke ∫(X) estas normale distribuita hazarda variablo kun ∫(μ = 50) kaj ∫(sigma = 10). Kalkulu la atendatan valoron de ∫(X).
Diskuto:
Kiel menciite antaŭe, en normala distribuo, la atendata valoro ∫(X)∫ egalas al ∫(μ∫). Do,
E(X) = μ = 50
Ekzempla Demando 2:
Se oni donas hazardan variablon ∫(Y) kiu estas normale distribuita kun ∫(μ = 120) kaj ∫(sigma = 15). Trovu la atendatan valoron de ∫(Y).
Diskuto:
Simile al la unua ekzemplo, la atendata valoro de \(Y \) estas la meza valoro aŭ meznombro de la normala distribuo, nome:
E(Y) = μ = 120
Ekzempla Demando 3:
Se la hazarda variablo ∫(Z) sekvas normalan distribuon kun ∫(μ = 0) kaj ∫(sigma = 1) (norma normala distribuo), kio estas la atendata valoro de ∫(Z)?
Diskuto:
La norma normala distribuo havas meznombron μ = 0, do la atendata valoro E(Z) estas:
E(Z) = μ = 0
Ekzempla Demando 4:
Supozu, ke ∫(W) estas normale distribuita hazarda variablo kun meznombro ∫(μ = 75) kaj norma devio ∫(sigma = 20). Se ni difinas novan hazardan variablon ∫(V = 2W + 3), kio estas la atendata valoro de ∫(V)?
Diskuto:
Por trovi la atendatan valoron de ∫(V)∫, ni bezonas uzi la linearecan propraĵon de la atendata valoro. Konsiderante ∫(V = 2W + 3), tiam:
\[ E(V) = E(2W + 3) \]
Surbaze de la lineareca propreco de la atendata valoro, ni povas apartigi la konstanton de la hazarda variablo:
\[ E(V) = 2E(W) + E(3) \]
Sciante, ke la atendata valoro de konstanto estas la konstanto mem:
\[ E(3) = 3 \]
Kaj la atendata valoro de ∫(W) estas la meznombro de la normala distribuo ∫(W):
E(W) = μ = 75
Do,
\[ E(V) = 2 × 75 + 3 \]
\[ E(V) = 150 + 3 \]
\[ E(V) = 153 \]
Ekzempla Demando 5:
La hazarda variablo ∑(Q) sekvas normalan distribuon kun meznombro ∑(μ = 40) kaj norma devio ∑(sigma = 5). Kio estas la atendata valoro de ∑(Q) se [U = Q/2]?
Diskuto:
Ni uzas la saman principon kiel en ekzemplo 4, nome la linearecan propraĵon de la atendata valoro. Konsiderante ke ∫(U = Q/2), tiam:
\[ E(U) = E\left(\frac{Q}{2}\right) \]
Bazite sur la lineareca propreco de atendata valoro:
\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
Ni scias, ke la atendata valoro de ∫(Q) estas la meznombro de la normala distribuo ∫(Q):
E(Q) = μ = 40
Do,
\[ E(U) = \frac{1}{2} \times 40 \]
\[ E(U) = 20 \]
Konkludo
En normala distribuo, la atendata valoro de hazarda variablo ĉiam egalas al la meznombro (µ) de la distribuo. La ekzemplaj problemoj supre montras diversajn kondiĉojn por kalkuli la atendatan valoron uzante la linearecan proprecon. Kompreni ĉi tiun bazan koncepton faciligas pritrakti normaldistribuajn problemojn en statistiko kaj probablokalkulo.
La normala distribuo estas decida en statistiko ĉar ĝi estas uzata en vasta gamo de praktikaj aplikoj, inkluzive de hipoteztestado, parametrotaksado, kaj diversaj aliaj statistikaj inferencoj. Bona kompreno pri la atendata valoro de ĉi tiu distribuo estas grava unua paŝo en datumanalizo.
Espereble ĉi tiu artikolo provizas klaran kaj utilan klarigon pri la atendata valoro en la normala distribuo kune kun koncernaj ekzemplaj demandoj kaj diskutoj.
