Ekzemplaj Demandoj Diskutante la Atenditan Valoron de la Binoma Distribuo
La binoma distribuo estas diskreta distribuo ofte uzata en statistiko por priskribi la probablecon de difinita nombro da sukcesoj en pluraj sendepende faritaj provoj. Ĉi tiu distribuo estas tre utila en diversaj kampoj, kiel ekonomiko, biologio kaj sociaj sciencoj. Unu grava koncepto komprenenda en la binoma distribuo estas atendata valoro. Ĉi tiu artikolo diskutos la koncepton de atendata valoro en la binoma distribuo per pluraj ekzemplaj problemoj kaj ilia diskuto.
Difino de Binoma Distribuo
La binoma distribuo priskribas la nombron da sukcesoj en \(n \) provoj, kiuj havas du eblajn rezultojn: sukceson aŭ malsukceson. Ĉi tiu distribuo estas karakterizita per du ĉefaj parametroj:
– \(n \): nombro da provoj
– \(p \): probableco de sukceso en ununura provo
Ĉi tiu distribuo ofte estas nomata B(n, p). La probabla masa funkcio (PMF) de la binoma distribuo estas:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
kie \( \binom{n}{k} \) estas la binoma koeficiento, kiu estas kalkulata kiel:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
Atendata valoro en binoma distribuo
La atendata valoro de binoma distribuo estas la averaĝa nombro da sukcesoj en \(n \) provoj, kaj estas formulita kiel:
\[ E(X) = n \times p \]
Specimenaj Demandoj kaj Diskuto
Ekzempla Demando 1
Demando:
Supozu, ke esploristo faras eksperimenton plantante 10 plantidojn, ĉiu kun kreskoprobablo de 0.7. Kio estas la atendata nombro da plantidoj, kiuj kreskos?
Diskuto:
Estas konate:
– \(n = 10 \)
– (p = 0.7)
La atendata valoro, ∫(X)∫, estas kalkulata jene:
\[ E(X) = n \times p \]
\[ E(X) = 10 × 0.7 \]
\[ E(X) = 7 \]
Do, la atendata valoro de la nombro da kreskantaj semoj estas 7 semoj.
Ekzempla Demando 2
Demando:
En ekzameno, la probableco ke studento respondas ĉiun demandon ĝuste estas 0.8. Se estas 15 demandoj en la ekzameno, kio estas la atendata nombro da ĝustaj respondoj?
Diskuto:
Estas konate:
– \(n = 15 \)
– (p = 0.8)
La atendata valoro, ∫(X)∫, estas kalkulata jene:
\[ E(X) = n \times p \]
\[ E(X) = 15 × 0.8 \]
\[ E(X) = 12 \]
Do, la atendata valoro de la nombro de ĝustaj respondoj estas 12 demandoj.
Ekzempla Demando 3
Demando:
Presejo produktas paperfoliojn kun probableco de 0.02 difektoj. En unu labortago, la fabriko produktas 500 paperfoliojn. Kio estas la atendata nombro da difektaj paperfolioj en unu tago?
Diskuto:
Estas konate:
– \(n = 500 \)
– (p = 0.02)
La atendata valoro, ∫(X)∫, estas kalkulata jene:
\[ E(X) = n \times p \]
\[ E(X) = 500 × 0.02 \]
\[ E(X) = 10 \]
Do, la atendata valoro de la nombro da difektaj paperfolioj en unu tago estas 10 folioj.
Vastiĝo de Konceptoj en Kompreno
1. Varianco kaj Norma Devio:
Aldone al la atendata valoro, gravas ankaŭ kompreni la variancon kaj norman devion en la binoma distribuo. La varianco de la binoma distribuo estas formulita jene:
\[ \tekst{Var}(X) = n \times p \times (1 – p) \]
La norma devio estas la kvadrata radiko de la varianco:
\[ \tekst{SD}(X) = \sqrt{n \times p \times (1 – p)} \]
2. Apliko en Statistikaj Ekzamenoj:
En akademiaj ekzamenoj aŭ testoj, atendataj poentaroj povas esti uzataj por mezuri la atendatan mezan poentaron de studento aŭ grupo de studentoj, helpante en la analizo de edukaj instruplanoj kaj la taksado de instrua efikeco.
3. Kazesploroj en Epidemiologio:
Ekzemple, en studo pri malsantransdono, la probableco de resaniĝo de paciento povas esti modelita uzante binoman distribuon. Scii la atendatan valoron permesas al sanprofesiuloj plani la necesajn medicinajn rimedojn surbaze de la antaŭvidita nombro de resaniĝintaj pacientoj.
Konkludo
La binoma distribuo estas grava ilo en statistiko, kiu helpas priskribi la probablecon de sukceso en serio de provoj. La atendata valoro en la binoma distribuo estas ŝlosila koncepto, kiu priskribas la averaĝan nombron de atendataj sukcesoj. Per la diskutitaj ekzemploj, ni povas vidi kiel la atendata valoro estas kalkulata kaj aplikata en diversaj kuntekstoj. Solida kompreno de ĉi tiu koncepto ebligas al esploristoj kaj praktikistoj fari pli bonajn planojn kaj pli informitajn decidojn bazitajn sur probablaj datumoj.
La binoma distribuo estas grava ne nur en probablokalkulo kaj statistiko, sed ankaŭ tre rilata en diversaj praktikaj aplikoj. Tial, la studado de ĉi tiu distribuo kaj la koncepto de atendata valoro provizas solidan fundamenton por datumanalizo kaj decidiĝo.
