Ekzemplaj Demandoj kaj Diskuto pri Produkta Momenta Korelacio
Produkto-Momenta Korelacio, ankaŭ konata kiel Pearson-Korelacio, estas statistika metodo uzata por mezuri la forton kaj direkton de lineara rilato inter du variabloj. Ĉi tiu metodo estas utila en diversaj kampoj, de akademia esplorado kaj komerca analizo ĝis la taksado de eksperimentoj en la natursciencoj. Ĉi tiu artikolo diskutos plurajn ekzemplajn problemojn kaj iliajn solvojn por kalkuli Produkto-Momentan Korelacion.
Pendahuluan
Antaŭ ol ni eniros la ekzemplajn demandojn, estas bone kompreni la bazan koncepton de Produkta Momenta Korelacio. La ĝenerala formulo uzata por kalkuli la Pearson-korelacian koeficienton (\(r\)) estas:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Kie:
– \(n \) estas la nombro de datenparoj.
– \( \sum{XY} \) estas la sumo de la produktoj de \( X \) kaj \( Y \).
– \( \sum{X} \) estas la sumo de la variabloj \( X \).
– \( \sum{Y} \) estas la sumo de la variabloj \( Y \).
– \( \sum{X^2} \) estas la sumo de la kvadratoj de la variablo \( X \).
– \( \sum{Y^2} \) estas la sumo de la kvadratoj de la variablo \( Y \).
La korelacia koeficiento de Pearson (\(r\)) ĉiam estas inter -1 kaj 1. Pozitiva korelacio indikas, ke ambaŭ variabloj moviĝas en la sama direkto, dum negativa korelacio indikas, ke kiam unu variablo pliiĝas, la alia malpliiĝas. Se \(r = 0\), tiam ne ekzistas lineara korelacio inter la du variabloj.
Ekzempla Demando 1
datumoj
Jen la rezultoj de la ekzamenoj pri matematiko kaj fiziko por 5 studentoj:
| Studento | Matematiko (X) | Fiziko (Y) |
|——-|——————-|—————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Rezoluciaj Paŝoj
1. Kalkulado de Gravaj Komponantoj:
– ( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– ( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– ( \sum{XY} \) = (85 \ 90) + (78 \ 85) + (85 \ 80) + (70 \ 70) + (80 \ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– ( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– ( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Enigu en la formulon:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Kalkulado de Rezultoj:
– Numeratoro: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Denominatoro:
– (n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766)
– (n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276)
– ( \sqrt{766 × 1276} \proksimume \sqrt{976856} \proksimume 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \proksimume 0.633 \]
Tiel, la korelacia koeficiento de Pearson inter la rezultoj de la matematiko kaj fiziko estas 0.633, kio indikas, ke ekzistas modera pozitiva korelacio inter la du variabloj.
Ekzempla Demando 2
datumoj
Jen datumoj pri vendovaloro kaj reklamelspezoj dum 6 monatoj ĉe firmao:
| Monato | Reklamado (X) | Vendoj (Y) |
|——-|————–|———————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Rezoluciaj Paŝoj
1. Kalkulado de Gravaj Komponantoj:
– ( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– ( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– ( \sum{XY} \) = (2000 \ 2500) + (1800 \ 2100) + (2200 \ 2700) + (2400 \ 2900) + (2300 \ 3000) + (2500 \ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– ( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– ( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Enigu en la formulon:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Kalkulado de Rezultoj:
– Numeratoro: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Denominatoro:
– (n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000)
– (n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000)
– ( \sqrt{2040000 × 4580000} \proksimume \sqrt{9343200000000} \proksimume 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \proksimume 0.981 \]
Tiel, la korelacia koeficiento de Pearson inter reklamaj elspezoj kaj vendovaloro estas 0.981, kio indikas, ke ekzistas tre forta pozitiva korelacio inter la du variabloj.
Konkludo
La korelacia koeficiento de Pearson (\(r\)) estas tre utila ilo por kompreni la linearan rilaton inter du variabloj. En la donitaj ekzemploj, ni vidas kiel kalkuli la valoron \(r\) kaj interpreti ĝin. Pli alta korelacio (pli proksima al 1 aŭ -1) indikas pli fortan rilaton, dum pli malalta korelacio (pli proksima al 0) indikas pli malfortan rilaton. Gravas noti, ke korelacio ne implicas kaŭzecon; ĝi simple indikas, ke ekzistas rilato inter la du variabloj.
