Ekzemplaj Demandoj Diskutante la Regulon por Aldoni Du Ekskluzivajn Okazaĵojn A kaj B
En probablokalkulo, la sumregulo de du eventoj estas unu el la fundamentaj principoj uzataj por kalkuli la probablecon de pluraj eventoj. Ĉi tiu koncepto ofte estas aplikata en diversaj situacioj por kompreni la eblajn rezultojn de certaj eventoj. En ĉi tiu artikolo, ni diskutos la sumoregulon de du reciproke ekskluzivaj eventoj kaj provizos ekzemplojn por klarigi ĉi tiun koncepton.
La Regulo de Adicio de Du Reciproke Ekskluzivaj Okazaĵoj
Unue, gravas kompreni kion signifas reciproke ekskluzivaj eventoj. Du eventoj estas diritaj disjunktaj aŭ reciproke ekskluzivaj se ili ne povas okazi samtempe. Alivorte, neniu elemento en la aro de unu evento estas ankaŭ elemento en la aro de alia evento.
La adicia regulo en probablokalkulo deklaras, ke se du eventoj ∏(A) kaj ∏(B) estas reciproke ekskluzivaj, tiam la probablokalkulo de evento ∏(A) aŭ ∏(B) estas la sumo de la probablokalkuloj de la du eventoj. Matematike, ĉi tiu regulo povas esti esprimita kiel:
P(A \cup B) = P(A) + P(B)
kie ∫(A \cup B)∫ estas la probableco de ∫(A)∫ aŭ ∫(B), ∫(P(A)∫ estas la probableco de evento ∫(A), kaj ∫(P(B)∫ estas la probableco de evento ∫(B).
Ekzemplaj Diskutaj Demandoj
Ni diskutu kelkajn ekzemplojn por klarigi la aplikon de la regulo por aldono de du reciproke ekskluzivaj eventoj.
Ekzempla Demando 1
Demando:
Sesflanka ĵetkubo estas ĵetita unufoje. Trovu la probablon, ke la rezulta nombro estas 2 aŭ 4.
Diskuto:
Ni povas difini eventon \(A\) kiel la okazon de la valoro 2, kaj eventon \(B\) kiel la okazon de la valoro 4. Tiel:
– \(P(A)\) estas la probableco ke la valoro 2 aperos.
– \(P(B)\) estas la probableco ke la valoro 4 aperos.
Ĉar ĵetkubo havas ses same verŝajnajn flankojn, la probableco de specifa valoro estanta ĵetita estas \( \frac{1}{6} \). Do:
\[ P(A) = \frac{1}{6} \]
\[ P(B) = \frac{1}{6} \]
La eventoj \(A\) kaj \(B\) estas reciproke ekskluzivaj ĉar la valoroj 2 kaj 4 ne povas aperi samtempe en ununura ĵeto de la ĵetkubo. Tial, uzante la adician regulon por du reciproke ekskluzivaj eventoj:
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Do, la probablo ke la aperanta valoro estas 2 aŭ 4 estas \( \frac{1}{3} \) aŭ proksimume 33.33%.
Ekzempla Demando 2
Demando:
En saketo estas 10 pilkoj konsistantaj el 4 ruĝaj pilkoj kaj 6 bluaj pilkoj. Se ni elektas unu pilkon hazarde, kio estas la probablo, ke la tirita pilko estas ruĝa aŭ blua?
Diskuto:
Ni povas difini la eventon \(A\) kiel preni la ruĝan pilkon, kaj la eventon \(B\) kiel preni la bluan pilkon. Tiel:
– \(P(A)\) estas la probableco de prenado de ruĝa pilko.
– \(P(B)\) estas la probableco de prenado de blua pilko.
La probableco de ĉiu evento povas esti kalkulita jene:
\[ P(A) = \frac{\text{Nombro da ruĝaj pilkoj}}{\text{Tuta nombro da pilkoj}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Nombro da bluaj pilkoj}}{\text{Tuta nombro da pilkoj}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
La eventoj \(A\) kaj \(B\) estas reciproke ekskluzivaj ĉar pilko ne povas esti samtempe ruĝa kaj blua. Tial, uzante la adician regulon por du reciproke ekskluzivaj eventoj:
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1
Do, la probableco ke la tirita pilko estas aŭ ruĝa aŭ blua estas 1, aŭ 100%. Ĉi tio havas sencon ĉar ĉiuj pilkoj en la saketo estas aŭ ruĝaj aŭ bluaj.
Ekzempla Demando 3
Demando:
En klaso de 20 lernantoj, el kiuj 7 ŝatas matematikon, 5 ŝatas sciencon, kaj neniu ŝatas ambaŭ. Se unu lernanto estas hazarde elektita, trovu la probablecon, ke la lernanto ŝatas aŭ matematikon aŭ sciencon.
Diskuto:
Ni povas difini eventon \(A\) kiel ŝaton de matematiko, kaj eventon \(B\) kiel ŝaton de scienco. Tiel:
– \(P(A)\) estas la probablo, ke studento ŝatas matematikon.
– \(P(B)\) estas la probablo, ke studento ŝatas sciencon.
La probableco de ĉiu evento povas esti kalkulita jene:
\[ P(A) = \frac{\text{Nombro da studentoj, kiuj ŝatas matematikon}}{\text{Tuta nombro da studentoj}} = \frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Nombro da studentoj kiuj ŝatas sciencon}}{\text{Tuta nombro da studentoj}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
La eventoj \(A\) kaj \(B\) estas reciproke ekskluzivaj ĉar neniu studento ŝatas ambaŭ. Tial, uzante la adician regulon por du reciproke ekskluzivaj eventoj:
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 7/20 + 5/20 = 12/20 = 3/5
Do, la probableco, ke hazarde elektita studento ŝatas aŭ matematikon aŭ sciencon, estas \( \frac{3}{5} \) aŭ 60%.
Konkludo
La adicia regulo de du reciproke ekskluzivaj eventoj estas fundamenta koncepto en probablokalkulo, kiu faciligas la kalkuladon de la probablokalkulo de komuna evento. En la ekzemploj supre, ni vidis, ke ĉi tiu principo aplikeblas al realmondaj situacioj kiel ĵetado de ĵetkuboj, tirado de pilkoj el saketo aŭ elektado de studentoj el klaso. Komprenante kaj majstrante ĉi tiun koncepton, ni povas pli efike kalkuli la probablokalkulojn de diversaj reciproke ekskluzivaj eventoj en ĉiutaga vivo.
