Άρθρο σχετικά με τις εφαρμογές της αρχής Bernoullis και της εξίσωσης Bernoullis
Θεώρημα του Τοριτσέλι
Μία από τις χρήσεις της εξίσωσης Bernoulli είναι ο υπολογισμός της ταχύτητας εξόδου ενός υγρού από τον πυθμένα ενός δοχείου (βλ. σχήμα).
Εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli στο σημείο 1 (επιφάνεια του δοχείου) και στο σημείο 2 (επιφάνεια της οπής). Επειδή η διάμετρος της οπής στον πυθμένα του δοχείου είναι πολύ μικρότερη από τη διάμετρο του δοχείου, η ταχύτητα του υγρού στην επιφάνεια του δοχείου θεωρείται μηδέν (v1 = 0). Η επιφάνεια του δοχείου και η επιφάνεια της οπής είναι ανοιχτές έτσι ώστε η πίεση να είναι ίση με την ατμοσφαιρική πίεση (P1 = P2 ) . Έτσι, η εξίσωση Bernoulli για αυτήν την περίπτωση είναι:
Αν θέλουμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα ροής του υγρού στην οπή στον πυθμένα του δοχείου, τότε η εξίσωση αυτή αλλάζει σε:
Η πυκνότητα του ρευστού είναι η ίδια, έτσι ώστε το ρ να μην υπάρχει πλέον.
Με βάση αυτήν την εξίσωση, η ταχύτητα ροής του νερού σε μια οπή που βρίσκεται από την επιφάνεια του δοχείου είναι η ίδια με
η ταχύτητα ροής του νερού που πέφτει ελεύθερα μέχρι το h (συγκρίνετε με την κίνηση ελεύθερης πτώσης). Αυτό είναι γνωστό ως θεώρημα του Torricelli. Αυτό το θεώρημα ανακαλύφθηκε από τον Torricelli, μαθητή του Galileo, έναν αιώνα πριν ο Bernoulli ανακαλύψει την εξίσωση.
Φαινόμενο Venturi
Εκτός από το θεώρημα του Torricelli, η εξίσωση Bernoulli μπορεί επίσης να εφαρμοστεί σε άλλες ειδικές περιπτώσεις, δηλαδή όταν το ρευστό ρέει σε ένα τμήμα σωλήνα που έχει σχεδόν το ίδιο ύψος. Για να κατανοήσετε αυτήν την εξήγηση, παρατηρήστε το παρακάτω σχήμα.
Στο παραπάνω σχήμα φαίνεται ότι το ύψος του σωλήνα, τόσο το τμήμα του σωλήνα με μεγάλη διατομή όσο και
το τμήμα του σωλήνα με μικρή διατομή, είναι σχεδόν το ίδιο, έτσι ώστε το ύψος να είναι ίσο. Αν εφαρμοστεί σε αυτήν την περίπτωση, η εξίσωση Bernoulli αλλάζει σε:
Όταν το ρευστό διέρχεται από ένα μικρό τμήμα του σωλήνα (A2 ) , ο ρυθμός ροής του ρευστού αυξάνεται. Σύμφωνα με την αρχή του Bernoulli, εάν η ταχύτητα του ρευστού αυξηθεί, η πίεση του ρευστού γίνεται μικρή. Η πίεση του ρευστού στο στενό τμήμα του σωλήνα είναι χαμηλότερη, αλλά ο ρυθμός ροής του ρευστού είναι υψηλότερος.
Αυτό είναι γνωστό ως φαινόμενο Venturi και δείχνει ποσοτικά ότι εάν ο ρυθμός ροής του ρευστού είναι υψηλός, η πίεση του ρευστού γίνεται μικρή. Ομοίως, εάν ο ρυθμός ροής του ρευστού είναι χαμηλός, η πίεση του ρευστού γίνεται μεγάλη.
Βεντούρι μετρητής
Μια ενδιαφέρουσα εφαρμογή του φαινομένου βεντούρι είναι ένα μετρητή βεντούρι. Αυτό το εργαλείο χρησιμοποιείται για τη μέτρηση του ρυθμού ροής ενός ρευστού, για παράδειγμα, υπολογίζοντας τον ρυθμό ροής νερού ή λαδιού που ρέει μέσω ενός σωλήνα. Υπάρχουν δύο τύποι μετρητών βεντούρι, συγκεκριμένα οι μετρητές βεντούρι χωρίς μανόμετρα και οι μετρητές βεντούρι που χρησιμοποιούν μανόμετρο που περιέχει άλλα υγρά, όπως υδράργυρο. Η αρχή λειτουργίας είναι η ίδια.
Μετρητής Venturi χωρίς μανόμετρο
Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα μετρητή βεντούρι που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της ροής ενός υγρού σε έναν σωλήνα.
Όταν το υγρό διέρχεται από ένα μικρό τμήμα του σωλήνα (A2 ) , ο ρυθμός ροής του υγρού αυξάνεται. Σύμφωνα με την αρχή του Bernoulli, εάν ο ρυθμός ροής του ρευστού αυξηθεί, η πίεση του υγρού γίνεται μικρή. Έτσι, η πίεση του υγρού σε ένα μεγάλο τμήμα είναι μεγαλύτερη από την πίεση του υγρού σε ένα μικρό τμήμα (P1 > P2 ) . Αντίθετα, v2 > v1
Επειδή P1 > P2 και v2 > v1 , τότε η εξίσωση αυτή μπορεί να μετατραπεί σε:
Εξίσωση 1.
Η εξίσωση συνέχειας:
Εξίσωση 2.
Αυτό που αναζητείται είναι ο ρυθμός ροής του υγρού σε μεγάλη διατομή (v1 ) . Αντικαθιστούμε το v2 στην εξίσωση 1 με το v2 στην εξίσωση 2.
Εξίσωση 3.
Για να υπολογίσετε την πίεση του ρευστού σε ένα συγκεκριμένο βάθος, χρησιμοποιήστε την εξίσωση:
p = ρgh → Εξίσωση a
Εάν η διαφορά στην πυκνότητα του ρευστού είναι ελάχιστη, τότε χρησιμοποιήστε αυτήν την εξίσωση για να προσδιορίσετε τη διαφορά πίεσης σε διαφορετικά ύψη. Έτσι, η εξίσωση a μπορεί να μετατραπεί σε:
Δ p = ρ g Δh
Για την παραπάνω περίπτωση, η εξίσωση αυτή μπορεί να μετατραπεί ως εξής:
p 1 − p 2 = ρ gh → Εξίσωση β
Τώρα αντικαθιστούμε το p1 – p2 στην εξίσωση 3, με το p1 – p2 στην εξίσωση b:
Επειδή το υγρό είναι το ίδιο, η πυκνότητα είναι επίσης η ίδια. Αφαιρέστε το ρ από την εξίσωση.
Σωλήνες Pitot
Εάν το μετρητή βεντούρι χρησιμοποιείται για τη μέτρηση του ρυθμού ροής ενός υγρού, ο σωλήνας pitot χρησιμοποιείται για τη μέτρηση του ρυθμού ροής αερίου ή αέρα. Η οπή στο σημείο 1 είναι παράλληλη με τη ροή του αέρα. Η θέση αυτών των δύο οπών γίνεται αρκετά μακριά από το άκρο του σωλήνα pitot, έτσι ώστε ο ρυθμός και η πίεση του αέρα έξω από την οπή να είναι ίδιες με τον ρυθμό και την πίεση του ελεύθερα ρέοντος αέρα. Σε αυτήν την περίπτωση, v1 = η παροχή του ελεύθερα ρέοντος αέρα (αυτό θα μετρήσουμε) και η πίεση στο αριστερό πόδι του μανομέτρου (αριστερός σωλήνας) = πίεση αέρα ελεύθερης ροής (P1).
Η οπή που οδηγεί στο δεξί πόδι του μανομέτρου, κάθετη στη ροή του αέρα. Επομένως, ο ρυθμός ροής του αέρα μέσα από αυτήν την οπή (τη μέση) μειώνεται και ο αέρας σταματά όταν φτάνει στο σημείο 2. Σε αυτήν την περίπτωση, v2 = 0. Η πίεση στο δεξί πόδι του μανομέτρου είναι ίση με την πίεση του αέρα στο σημείο 2 (P2 ) . Το ύψος του σημείου 1 και του σημείου 2 είναι σχεδόν το ίδιο (η διαφορά δεν είναι πολύ μεγάλη) έτσι ώστε να μπορεί να αγνοηθεί.
Η διαφορά πίεσης (P2 – P1 ) = η υδροστατική πίεση του υγρού στο μανόμετρο (το μαύρο χρώμα στο μανόμετρο είναι υγρό, υδράργυρος). Μαθηματικά μπορεί να γραφτεί:
p 2 – p 1 = ρ 'gh → Εξίσωση 2
ρ '= πυκνότητα του υγρού σε ένα μανόμετρο
Εξίσωση 1 και εξίσωση 2. Το αριστερό τμήμα είναι το ίδιο (P2 – P1 ) . Επομένως, οι εξισώσεις 1 και δύο μπορούν να τροποποιηθούν ως εξής:
Πίνετε με πιπέτα
Έχετε πιει ποτέ νερό χρησιμοποιώντας πιπέτα; Όταν ρουφάμε νερό χρησιμοποιώντας μια πιπέτα, κάνουμε τον αέρα στην πιπέτα να κινείται πιο γρήγορα. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αέρας στην πιπέτα στο στόμα μας έχει μεγαλύτερη ταχύτητα. Ως αποτέλεσμα, η πίεση του αέρα στο τμήμα της πιπέτας γίνεται μικρότερη. Ο αέρας στο τμήμα της πιπέτας κοντά στο ποτό έχει μικρότερη ταχύτητα. Επειδή η ταχύτητα είναι μικρή, η πίεση είναι μεγαλύτερη. Αυτή η διαφορά στην πίεση του αέρα κάνει το νερό που πίνουμε να ρέει στο στόμα μας. Σε αυτήν την περίπτωση, το υγρό κινείται από το τμήμα της πιπέτας όπου η πίεση του αέρα είναι υψηλή προς το τμήμα της πιπέτας όπου η πίεση του αέρα είναι χαμηλή.
Καμινάδα
Έχετε δει καμινάδα; Γιατί ο καπνός μπορεί να κινηθεί προς τα πάνω μέσα από την καμινάδα; Πρώτον, ο καπνός που παράγεται από την καύση έχει υψηλή θερμοκρασία. Λόγω της υψηλής θερμοκρασίας, η πυκνότητα του αέρα είναι μικρή. Ο αέρας με μικρή πυκνότητα είναι εύκολο να επιπλέει ή να κινείται προς τα πάνω. Ο λόγος δεν είναι μόνο αυτός. Η αρχή του Bernoulli εμπλέκεται επίσης σε αυτό το πρόβλημα.
Δεύτερον, η αρχή του Bernoulli ορίζει ότι εάν ο ρυθμός ροής αέρα είναι υψηλός, τότε η πίεση γίνεται μικρή, διαφορετικά, εάν ο ρυθμός ροής αέρα είναι χαμηλός, η πίεση είναι μεγάλη. Η κορυφή της καμινάδας είναι σε εξωτερικό χώρο. Υπάρχει ένας άνεμος που φυσάει στην κορυφή της καμινάδας, έτσι ώστε η πίεση του αέρα γύρω της να είναι μικρότερη. Σε ένα κλειστό δωμάτιο, δεν φυσάει άνεμος, επομένως η πίεση του αέρα είναι υψηλότερη. Επομένως, ο καπνός βγήκε έξω από την καμινάδα. Ο αέρας κινείται από ένα σημείο όπου η πίεση του αέρα είναι υψηλή σε ένα σημείο όπου η πίεση του αέρα είναι χαμηλή.
Τρύπα στο έδαφος
Δώστε προσοχή στο παρακάτω σχήμα. Αυτό είναι ένα σχήμα που απεικονίζει μια τρύπα ποντικιού στο έδαφος. Τα ποντίκια γνωρίζουν επίσης την αρχή του Μπερνούλι. Τα ποντίκια προτιμούν να μην πεθάνουν λόγω δύσπνοιας, γι' αυτό και κάνουν δύο τρύπες σε διαφορετικά ύψη. Ως αποτέλεσμα της διαφοράς ύψους στην επιφάνεια του εδάφους, ο αέρας σπρώχνεται με άλλον αέρα. Είναι σαν νερό που ρέει από έναν σωλήνα μεγάλης διαμέτρου που διασχίζει έναν σωλήνα μικρής διαμέτρου. Έτσι, η ταχύτητα του αέρα αυξάνεται και η πίεση του αέρα μειώνεται.
Επειδή υπάρχει διαφορά στην πίεση του αέρα, ο αέρας αναγκάζεται να ρέει μέσα από την τρύπα του ποντικιού. Ο αέρας ρέει από ένα σημείο όπου η πίεση του αέρα είναι υψηλή σε ένα σημείο όπου η πίεση του αέρα είναι χαμηλή.
Φτερά αεροπλάνου και δυναμική ανύψωση
Ένας παράγοντας που προκαλεί την πτήση των αεροσκαφών είναι τα φτερά. Το σχήμα των φτερών είναι καμπύλο και το μπροστινό μέρος είναι παχύτερο από το πίσω. Αυτό το σχήμα φτερού ονομάζεται αεροτομή. Αυτή η ιδέα μιμήθηκε τα φτερά του πουλιού. Το σχήμα των φτερών του πουλιού είναι επίσης παρόμοιο (τα φτερά του πουλιού είναι καμπύλα και το μπροστινό μέρος είναι παχύτερο). Η διαφορά είναι ότι τα φτερά των πουλιών μπορούν να χτυπούν, ενώ τα φτερά των αεροσκαφών όχι. Τα πτηνά μπορούν να πετάξουν επειδή χτυπούν τα φτερά τους, επομένως υπάρχει ροή αέρα και στις δύο πλευρές του φτερού. Για να ρέει αέρας και στις δύο πλευρές του φτερού του αεροσκάφους, το αεροπλάνο πρέπει να κινηθεί προς τα εμπρός. Οι άνθρωποι χρησιμοποιούν μηχανές για να κινούν τα αεροπλάνα.
Το μπροστινό μέρος της πτέρυγας έχει σχεδιαστεί για να κάμπτεται προς τα πάνω. Ο αέρας που ρέει από κάτω σπρώχνεται με τον αέρα στην κορυφή. Είναι σαν νερό που ρέει από έναν σωλήνα με μεγάλη διατομή σε έναν σωλήνα στενής διατομής. Ως αποτέλεσμα, ο ρυθμός ροής του αέρα πάνω από την πτέρυγα αυξάνεται. Επειδή καθώς αυξάνεται ο ρυθμός του αέρα, η πίεση του αέρα γίνεται μικρή. Αντίθετα, ο ρυθμός ροής του αέρα κάτω από την πτέρυγα είναι χαμηλότερος επειδή ο αέρας δεν σπρώχνεται (η πίεση του αέρα είναι μεγαλύτερη). Η ύπαρξη αυτής της διαφοράς πίεσης, κάνει την πτέρυγα του αεροσκάφους να ανυψώνεται.
Η αρχή του Μπερνούλι είναι μόνο ένας από τους παράγοντες. Μια άλλη αιτία είναι η ορμή. Συνήθως, η πτέρυγα του αεροσκάφους έχει ελαφρά κλίση προς τα πάνω. Ο αέρας που χτυπά την κάτω επιφάνεια της πτέρυγας εκτρέπεται προς τα κάτω. Επειδή το αεροπλάνο έχει δύο πτέρυγες, αριστερά και δεξιά, ο αέρας που εκτρέπεται προς τα κάτω συγκρούεται μεταξύ του. Οι αλλαγές στην μοριακή ορμή του αέρα που συγκρούονται παράγουν πρόσθετη άνωση.
Επειδή το σχήμα της πτέρυγας καμπυλώνεται προς τα κάτω προς την ουρά, έτσι ώστε ο αέρας να αναγκάζεται από την πτέρυγα να ρέει ξανά προς τα κάτω. Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα, επειδή υπάρχει δύναμη δράσης, άρα υπάρχει και δύναμη αντίδρασης. Επειδή τα φτερά ωθούν τον αέρα προς τα κάτω, ο αέρας πρέπει να αναγκάσει τα φτερά να κινηθούν προς τα πάνω. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αέρας ασκεί δύναμη άντωσης στην πτέρυγα. Δεν είναι λοιπόν μόνο η αρχή του Μπερνούλι που προκαλεί την ανύψωση του αεροπλάνου.
