Άρθρο σχετικά με την κίνηση ελεύθερης πτώσης
Στην καθημερινή ζωή, βλέπουμε συχνά αντικείμενα που υφίστανται ελεύθερη πτώση, για παράδειγμα, η κίνηση φρούτων που πέφτουν από ένα δέντρο, η κίνηση αντικειμένων που πέφτουν ή ρίχνονται από ένα ορισμένο ύψος. Γιατί τα αντικείμενα υφίστανται ελεύθερη πτώση; Αν παρατηρηθεί με μια ματιά, το αντικείμενο υφίσταται ελεύθερη πτώση σαν να έχει σταθερή ταχύτητα, ή με άλλα λόγια το αντικείμενο δεν επιταχύνεται. Το γεγονός αυτό συμβαίνει, κάθε αντικείμενο που πέφτει ελεύθερα υφίσταται μια σταθερή επιτάχυνση. Αυτός ο λόγος προκαλεί κίνηση ελεύθερης πτώσης, συμπεριλαμβανομένου του παραδείγματος της μη ομοιόμορφης γραμμικής κίνησης. Πώς να αποδείξουμε ότι τα αντικείμενα που υφίστανται ελεύθερη πτώση υφίστανται σταθερή επιτάχυνση ή αύξηση της ταχύτητάς τους;
Βυθίστε δύο καρφιά στο έδαφος και ρίξτε μια πέτρα από διαφορετικό ύψος σε κάθε καρφί. Θα δείτε ότι τα καρφιά που δέχονται πέτρες σε υψηλότερο επίπεδο είναι καρφωμένα βαθύτερα από τα άλλα καρφιά. Όσο υψηλότερη είναι η θέση της πέτρας από την επιφάνεια του εδάφους, τόσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα της πέτρας όταν χτυπά το έδαφος, έτσι ώστε να πιέζει το καρφί πιο βαθιά.
Στο παρελθόν, η κίνηση των αντικειμένων που πέφτουν στο έδαφος ήταν ένα πολύ ενδιαφέρον θέμα στη φυσική φιλοσοφία. Ο Αριστοτέλης, ένας φιλόσοφος, είπε κάποτε ότι ένα αντικείμενο που έχει μεγαλύτερη μάζα πέφτει γρηγορότερα από τα ελαφρύτερα αντικείμενα. Η γνώμη του Αριστοτέλη επηρέασε τις απόψεις των ανθρώπων που έζησαν πριν από την εποχή του Γαλιλαίου, οι οποίοι θεωρούσαν ότι τα αντικείμενα με μεγαλύτερη μάζα έπεφταν γρηγορότερα από τα ελαφρύτερα αντικείμενα και ότι η ταχύτητα πτώσης των αντικειμένων ήταν ανάλογη με τη μάζα του αντικειμένου. Ίσως πριν μελετήσετε αυτό το θέμα, να το πιστεύετε κι εσείς. Για παράδειγμα, ρίχνουμε ένα κομμάτι χαρτί και μια πέτρα από το ίδιο ύψος. Τα αποτελέσματα που παρατηρήσαμε έδειξαν ότι η πέτρα άγγιξε πρώτα την επιφάνεια του εδάφους ή του δαπέδου από το χαρτί. Τώρα, ας ρίξουμε δύο πέτρες από το ίδιο ύψος, όπου η μία πέτρα είναι μεγαλύτερη από την άλλη. Οι δύο πέτρες άγγιξαν την επιφάνεια του εδάφους ταυτόχρονα, σε σύγκριση με την πέτρα και το χαρτί που ρίξαμε νωρίτερα. Μπορούμε επίσης να πειραματιστούμε ρίχνοντας πέτρες και χαρτί σε μορφή σβόλων.
Τι επηρεάζει την κίνηση των πετρωμάτων ή των χαρτιών που πέφτουν; Η δύναμη τριβής του αέρα! Η αντίσταση του αέρα ή η τριβή επηρεάζει σε μεγάλο βαθμό την κίνηση ελεύθερης πτώσης. Ο Γαλιλαίος διατύπωσε την υπόθεση ότι όλα τα αντικείμενα θα πέσουν με την ίδια επιτάχυνση αν δεν υπάρχει αέρας ή άλλα εμπόδια. Ο Γαλιλαίος υποστήριξε ότι όλα τα αντικείμενα, βαριά ή ελαφριά, πέφτουν με την ίδια επιτάχυνση, τουλάχιστον αν δεν υπάρχει αέρας. Ο Γαλιλαίος πίστευε ότι ο αέρας λειτουργεί ως εμπόδιο για τα εξαιρετικά ελαφριά αντικείμενα που έχουν μεγάλη επιφάνεια. Αλλά σε πολλές περιπτώσεις, αυτή η αντίσταση του αέρα μπορεί να αγνοηθεί. Σε ένα δωμάτιο όπου έχει αναρροφηθεί ο αέρας (κενό), ελαφρά αντικείμενα, όπως ένα κομμάτι χαρτί που κρατιέται οριζόντια, θα πέσουν με την ίδια επιτάχυνση όπως και άλλα αντικείμενα. Η συμβολή του Γαλιλαίου στην κατανόηση της κίνησης των αντικειμένων που πέφτουν μπορεί να συνοψιστεί ως εξής:
Σε μια συγκεκριμένη θέση στη Γη και χωρίς αντίσταση του αέρα, όλα τα αντικείμενα πέφτουν με την ίδια σταθερή επιτάχυνση. Ονομάζουμε αυτήν την επιτάχυνση που προκαλείται από τη βαρύτητα και της δίνουμε το σύμβολο g. Το μέγεθος του g είναι περίπου 9.8 m/s² . Στις μονάδες του Αγγλικού Συστήματος, το μέγεθος του g είναι περίπου 32 ft/s² . Η κατεύθυνση της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι προς το κέντρο της γης.
Ορισμός της κίνησης ελεύθερης πτώσης
Ένα αντικείμενο λέγεται ότι υφίσταται ελεύθερη πτώση εάν κινείται κάθετα προς το κέντρο της γης και κατά τη διάρκεια της κίνησής του, το αντικείμενο υφίσταται σταθερή επιτάχυνση της βαρύτητας. Εάν η ελεύθερη πτώση γίνεται κοντά στην επιφάνεια της γης, τότε το αντικείμενο υφίσταται σταθερή επιτάχυνση της βαρύτητας 9.8 m/s².
και η κατεύθυνση της επιτάχυνσης της βαρύτητας προς το κέντρο της γης (κάθετα στην επιφάνεια της γης). Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, το g είναι 10 m/s 2.
Υπάρχουν τρεις διαφορετικές καταστάσεις:
1. Τα αντικείμενα κινούνται κατακόρυφα προς τα κάτω χωρίς αρχική ταχύτητα (όχι v o ). Για παράδειγμα, ο καρπός πέφτει από το δέντρο αφού απελευθερωθεί από τον μίσχο. Η κατεύθυνση της κίνησης είναι πάντα προς τα κάτω και το αντικείμενο υφίσταται επιτάχυνση, έτσι ώστε το g να είναι πάντα θετικό. Σε ορισμένα βιβλία φυσικής ονομάζεται κίνηση ελεύθερης πτώσης.
2. Το αντικείμενο κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω με την αρχική ταχύτητα (υπάρχει v o ). Για παράδειγμα, μια πέτρα που ρίχνεται κατακόρυφα προς τα κάτω. Η κατεύθυνση κίνησης είναι πάντα προς τα κάτω και το αντικείμενο υφίσταται επιτάχυνση, έτσι ώστε το g να είναι πάντα θετικό. Σε ορισμένα βιβλία φυσικής, ονομάζεται κατακόρυφη καθοδική κίνηση.
3. Το αντικείμενο κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα. Αφού φτάσει στο μέγιστο ύψος, κινείται πίσω προς τα κάτω. Ας υποθέσουμε ότι πετάτε κάθετες μπίλιες προς τα πάνω και τις πιάνετε ξανά όταν οι μπίλιες κινούνται προς τα κάτω. Όταν κινούνται προς τα πάνω, τα αντικείμενα παρουσιάζουν επιβράδυνση (αρνητική g), ενώ όταν κινούνται κατακόρυφα προς τα κάτω, το αντικείμενο επιταχύνει (θετική g). Σε ορισμένα βιβλία φυσικής, αυτό ονομάζεται κατακόρυφη ανοδική κίνηση. Πρέπει να σημειωθεί ότι εάν ένα αντικείμενο βιώσει μία από τις τρεις παραπάνω συνθήκες, λέγεται ότι εκτελεί ελεύθερη πτώση.
Η εξίσωση της κίνησης ελεύθερης πτώσης
Η κίνηση ελεύθερης πτώσης είναι ένα παράδειγμα μη ομοιόμορφης γραμμικής κίνησης, επομένως η εξίσωση της κίνησης ελεύθερης πτώσης είναι βασικά η ίδια με την εξίσωση της μη ομοιόμορφης γραμμικής κίνησης και προσαρμοσμένη στις συνθήκες της κίνησης ελεύθερης πτώσης.
h = ύψος (μέτρο), v o = αρχική ταχύτητα (μέτρο/δευτερόλεπτο), v t = τελική ταχύτητα (μέτρο/δευτερόλεπτο), t = χρόνος (δευτερόλεπτο), g = επιτάχυνση της βαρύτητας (μέτρο/δευτερόλεπτο) = 9.8 m/s 2 ή 10 m/s 2.
Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι σταθερή στα 10 m/s² ( g θετική, το αντικείμενο κινείται προς τα κάτω) που σημαίνει ότι η ταχύτητα του αντικειμένου αυξάνεται κατά 10 m/s κάθε 1 δευτερόλεπτο. 2 δευτερόλεπτα αργότερα, η ταχύτητα του αντικειμένου αυξάνεται κατά 20 m/s. 3 δευτερόλεπτα αργότερα, η ταχύτητα του αντικειμένου αυξάνεται κατά 30 m/s. Η σταθερή επιβράδυνση της βαρύτητας είναι 10 m/s² ( g αρνητική, το αντικείμενο κινείται προς τα πάνω) που σημαίνει ότι η ταχύτητα του αντικειμένου μειώνεται κατά 10 m/s κάθε 1 δευτερόλεπτο. 2 δευτερόλεπτα αργότερα, η ταχύτητα του αντικειμένου μειώνεται κατά 20 m/s. 3 δευτερόλεπτα αργότερα, η ταχύτητα του αντικειμένου μειώνεται κατά 30 m/s. Η σταθερή επιτάχυνση ή η σταθερή επιβράδυνση εμφανίζεται μόνο κοντά στην επιφάνεια της γης.
Δείγμα προβλήματος 1:
Το μάνγκο απελευθερώνεται και πέφτει στο έδαφος. Εάν η αρχική θέση είναι 10 μέτρα από την επιφάνεια του εδάφους και η μάζα του μάνγκο είναι 5 γραμμάρια, προσδιορίστε:
(α) η ταχύτητα του μάνγκο όταν φτάνει στο έδαφος
(β) το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί για να φτάσει το μάνγκο στο έδαφος.
g = 9.8 m/ s²
Λύση:
Γνωστά: h = 10 m, g = 9.8 m/ s²
α) Η ταχύτητα του manga όταν φτάνει στο έδαφος
Η μάζα υπολογίζεται στην εξίσωση της κίνησης ελεύθερης πτώσης
β) Χρονικό διάστημα στον αέρα
Δείγμα προβλήματος 2:
Ένα αντικείμενο πέφτει από ένα ορισμένο ύψος. Προσδιορίστε:
(α) το μέγεθος της επιτάχυνσης του αντικειμένου
(β) η απόσταση που διανύει το αντικείμενο για τα πρώτα 2 δευτερόλεπτα
(γ) η ταχύτητα του αντικειμένου μετά από πτώση 50 μέτρων
(δ) πόσο χρόνο χρειάζεται το αντικείμενο για να φτάσει σε ταχύτητα 20 m/s,
(ε) πόσο χρόνο χρειάζεται για να πέσει το αντικείμενο σε ύψος 100 μέτρων;
Λύση:
Γνωστά: g = 9.8 m/ s²
α) Το μέγεθος της επιτάχυνσης του αντικειμένου
Επιτάχυνση του αντικειμένου = επιτάχυνση της βαρύτητας = g = 9.8 m/ s²
β) Η απόσταση που διανύει το αντικείμενο για τα πρώτα 2 δευτερόλεπτα
Γνωστά: g = 9.8 m/s² , t = 2 s
Ζητείται: h
h = 1⁄2 gt 2 = 1⁄2 (9.8)(2) 2 = (4.9)(4) = 19.6 μέτρα
γ) Η ταχύτητα του αντικειμένου μετά από πτώση έως και 50 μέτρα
Γνωστά: h = 50 m, g = 9,8 m/ s²
Ζητείται: v t
δ) Πόσο χρόνο χρειάζονται τα αντικείμενα για να φτάσουν σε ταχύτητα 20 m/s;
Γνωστά: v t = 20 m/s, g = 9,8 m/ s²
Ζητείται: τ
ε) Το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να πέσουν αντικείμενα σε ύψος έως και 100 μέτρων
Ζητούμενο: h = 100 m, g = 9,8 m/ s²
Λύση: t
Δείγμα προβλήματος 3:
Μια πέτρα ρίχνεται σε ένα πηγάδι με αρχική ταχύτητα 5 m/s. Αν η πέτρα πέσει στο νερό μετά από 4 δευτερόλεπτα, προσδιορίστε:
(α) η ταχύτητα της πέτρας όταν εισέρχεται στο νερό
(β) το βάθος του φρέατος
Λύση:
α) Η ταχύτητα της πέτρας όταν μπαίνει στο νερό
Γνωστός:
v o = 5 m/s, t = 4 s, g = 9.8 m/s 2
Ζητείται: v t
v t = v o + g t
v t = 5 m/s + (9.8 m/s² ) (4 s) = 5 m/s + 39.2 m/s
v t = 44.2 m/s
β) Βάθος φρέατος
Γνωστός:
v o = 5 m/s, t = 4 s, g = 9.8 m/s 2
Ζητείται: h
h = v o t + ½ gt2
h = (5)(4) + ½ (9.8)(4) 2
h = 20 + (4.9)(16)
h = 20 + 78.4
ύψος = 98.4 μέτρα
Δείγμα προβλήματος 4:
Από την κορυφή του κτιρίου σε ύψος έως και 50 μέτρων, ένα πακέτο εκτοξεύεται κάθετα προς τα κάτω με ταχύτητα 10 m/s. Προσδιορίστε:
(α) Ο χρόνος στον αέρα
(β) Η ταχύτητα του πακέτου όταν χτυπά στο έδαφος
Λύση:
α) Ο χρόνος στον αέρα
Γνωστός:
h = 50 m, g = 9.8 m/s² , v₂o = 10 m/s
Ζητείται: τ
h = v o t + ½ gt2
50 = 10 t + ½ (9.8) t2
50 = 10 t + 4.9 t 2
4.9 t 2 + 10 t – 50 = 0
Χρησιμοποιήστε τον τετραγωνικό τύπο:
Χρόνος στον αέρα = 2.3 δευτερόλεπτα
β) Η ταχύτητα του πακέτου όταν χτυπάει στο έδαφος
Γνωστός:
h = 50 m, g = 9.8 m/s² , v₂o = 10 m/s
Ζητείται: v t
Δείγμα προβλήματος 5:
Μια μπάλα πετάγεται κάθετα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα 20 m/s. Προσδιορίστε το μέγιστο ύψος που φτάνει η μπάλα.
Λύση:
Οι ποσότητες του διανύσματος που έχει κατεύθυνση προς τα πάνω είναι θετικές, οι ποσότητες του διανύσματος που έχει κατεύθυνση προς τα κάτω είναι αρνητικές. Η αρχική θέση της μπάλας επιλέγεται ως σημείο αναφοράς.
Γνωστός:
v o = 20 m/s (η κατεύθυνση της αρχικής ταχύτητας είναι προς τα πάνω, η μπάλα πετάγεται προς τα πάνω, άρα το v o είναι θετικό)
v t = 0 m/s (η ταχύτητα της μπάλας στο μέγιστο ύψος είναι 0 m/s)
g = – 9.8 m/s 2 (η κατεύθυνση της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι προς τα κάτω, άρα το g είναι αρνητικό)
Ζητείται: h
Δείγμα προβλήματος 6:
Μια μπίλια εκτοξεύεται κάθετα προς τα πάνω από την κορυφή ενός κτιρίου 100 μέτρα πάνω από το έδαφος με αρχική ταχύτητα 20 m/s. Προσδιορίστε:
(α) Χρόνος στον αέρα
(β) η ταχύτητα του μαρμάρου όταν χτυπά το έδαφος
Λύση:
Θέση όπου ρίχνεται το μάρμαρο ως σημείο αναφοράς· η κορυφή του κτιρίου είναι σημείο αναφοράς. Το μέγεθος του διανύσματος του οποίου η κατεύθυνση είναι προς τα πάνω είναι θετικό, το μέγεθος του διανύσματος του οποίου η κατεύθυνση είναι προς τα κάτω είναι αρνητικό.
α) Χρόνος στον αέρα
Γνωστός:
h = – 100 m (το h είναι αρνητικό επειδή η επιφάνεια του εδάφους βρίσκεται κάτω από την αρχική θέση ή το σημείο αναφοράς)
v o = 20 m/s (η κατεύθυνση της αρχικής ταχύτητας είναι προς τα πάνω, άρα η v o είναι θετική)
g = – 9.8 m/s 2 (η κατεύθυνση της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι προς τα κάτω, άρα το g είναι αρνητικό)
Ζητείται: τ
Χρησιμοποιήστε τον τετραγωνικό τύπο:
Ο χρόνος που απαιτείται για να φτάσει κανείς στο έδαφος από τότε που
η μπάλα ρίχνεται = 7 δευτερόλεπτα.
β) Η ταχύτητα του μαρμάρου όταν χτυπά την επιφάνεια του εδάφους
Γνωστός:
h = -100 m (αρνητικό επειδή η επιφάνεια του εδάφους βρίσκεται κάτω από το σημείο αναφοράς ή την αρχική θέση)
v o = 20 m/s (η κατεύθυνση της αρχικής ταχύτητας είναι προς τα πάνω, άρα το v o είναι θετικό)
g = -9.8 m/s 2 (η κατεύθυνση της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι προς τα κάτω, άρα το g είναι αρνητικό).
Ζητείται: v t
Εννοιολογικές ερωτήσεις και απαντήσεις σχετικά με την κίνηση ελεύθερης πτώσης
- Τι είναι η κίνηση ελεύθερης πτώσης;
Η κίνηση ελεύθερης πτώσης είναι η κίνηση ενός αντικειμένου υπό την επίδραση μόνο της βαρύτητας, χωρίς να ασκούνται σε αυτό άλλες δυνάμεις, όπως η αντίσταση του αέρα.
- Ποια είναι η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας;
Η επιτάχυνση λόγω βαρύτητας είναι η επιτάχυνση που βιώνει ένα αντικείμενο όταν πέφτει ελεύθερα κοντά στην επιφάνεια της Γης. Συνήθως συμβολίζεται ως «g» και έχει μια κατά προσέγγιση τιμή 9.8 m/s².
- Ποιος είναι ο τύπος για τη μετατόπιση σε κίνηση ελεύθερης πτώσης, δεδομένων της αρχικής ταχύτητας και του χρόνου;
Ο τύπος είναι h = ut + ½gt², όπου h είναι η μετατόπιση (ύψος), u είναι η αρχική ταχύτητα, g είναι η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας και t είναι ο χρόνος.
- Πώς αλλάζει η ταχύτητα ενός αντικειμένου κατά την ελεύθερη πτώση;
Κατά την ελεύθερη πτώση, η ταχύτητα ενός αντικειμένου αυξάνεται γραμμικά με την πάροδο του χρόνου λόγω της σταθερής επιτάχυνσης της βαρύτητας.
- Ποιος είναι ο τύπος για την τελική ταχύτητα σε κίνηση ελεύθερης πτώσης, δεδομένης της αρχικής ταχύτητας και του χρόνου;
Ο τύπος είναι v = u + gt, όπου v είναι η τελική ταχύτητα, u είναι η αρχική ταχύτητα και g είναι η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας.
- Τι συμβαίνει με την ταχύτητα ενός αντικειμένου στην κορυφή της τροχιάς του σε ελεύθερη πτώση;
Στην κορυφή της τροχιάς του, η ταχύτητα του αντικειμένου μηδενίζεται στιγμιαία.
- Τι αντιπροσωπεύει ένα αρνητικό πρόσημο στο πλαίσιο της κίνησης ελεύθερης πτώσης;
Το αρνητικό πρόσημο συνήθως υποδηλώνει κατεύθυνση αντίθετη από την επιλεγμένη θετική κατεύθυνση. Ανάλογα με τα συμφραζόμενα, μπορεί να υποδηλώνει πτώση (αν το πάνω είναι θετικό) ή ρίψη (αν το πάνω είναι αρνητικό).
- Τι συμβαίνει με την επιτάχυνση ενός αντικειμένου σε ελεύθερη πτώση όταν φτάσει στο μέγιστο ύψος του;
Η επιτάχυνση ενός αντικειμένου στο μέγιστο ύψος του σε ελεύθερη πτώση παραμένει ίση με g (περίπου -9.8 m/s² κοντά στην επιφάνεια της Γης), στραμμένη προς τα κάτω.
- Πώς επηρεάζει η αντίσταση του αέρα την κίνηση ελεύθερης πτώσης;
Στην πραγματικότητα, η αντίσταση του αέρα μπορεί να επιβραδύνει σημαντικά την κάθοδο ενός αντικειμένου, καθιστώντας την κίνηση αυτή μη θεωρούμενη πλέον ελεύθερη πτώση. Ωστόσο, σε πολλά προβλήματα φυσικής, η αντίσταση του αέρα αγνοείται για λόγους απλότητας.
- Ποιος είναι ο χρόνος πτήσης σε κίνηση ελεύθερης πτώσης;
Ο χρόνος πτήσης είναι ο συνολικός χρόνος που το αντικείμενο παραμένει στον αέρα. Για ένα αντικείμενο που εκτοξεύεται και προσγειώνεται στο ίδιο ύψος, ο χρόνος πτήσης μπορεί να βρεθεί από τον τύπο t = 2u/g.
Προβλήματα και λύσεις σχετικά με την κίνηση ελεύθερης πτώσης
- Πρόβλημα: Ένας βράχος πέφτει από έναν γκρεμό ύψους 78.4 μέτρων. Πόσο χρόνο χρειάζεται για να φτάσει ο βράχος στο έδαφος; Λύση: Χρησιμοποιούμε την εξίσωση h = ½gt². Λύνοντας ως προς τον χρόνο, t = √(2h/g) = √(2×78.4/9.8) = 4 s.
- Πρόβλημα: Μια μπάλα εκτοξεύεται προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα 19.6 m/s. Πόσο ψηλά θα φτάσει η μπάλα; Λύση: Χρησιμοποιώντας την εξίσωση h = v₀t – ½gt² στο μέγιστο ύψος (όπου η τελική ταχύτητα είναι 0), το ύψος h = v₀² / (2g) = (19.6)² / (2×9.8) = 20 m.
- Πρόβλημα: Μια πέτρα εκτοξεύεται προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα 10 m/s. Ποια θα είναι η ταχύτητά της μετά από 2 δευτερόλεπτα; Λύση: Η εξίσωση v = v₀ – gt δίνει ταχύτητα v = 10 – 9.8×2 = -9.6 m/s.
- Πρόβλημα: Ένα νόμισμα πέφτει σε ένα πηγάδι και χτυπάει στο νερό μετά από 3 δευτερόλεπτα. Πόσο βαθύ είναι το πηγάδι; Λύση: Χρησιμοποιώντας h = ½gt², το βάθος h = ½x9.8×3² = 44.1 m.
- Πρόβλημα: Ένα βιβλίο πέφτει από ένα τραπέζι και χτυπάει στο έδαφος μετά από 0.5 δευτερόλεπτα. Πόσο ψηλό ήταν το τραπέζι; Λύση: Χρησιμοποιώντας h = ½gt², το ύψος h = ½x9.8x(0.5)² = 1.225 m.
- Πρόβλημα: Μια μπάλα εκτοξεύεται προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα 20 m/s. Πότε θα φτάσει στο μέγιστο ύψος της; Λύση: Στο μέγιστο ύψος, v = 0. Λύνοντας την εξίσωση t = (v – v₀) / -g, ο χρόνος t = (0 – 20) / -9.8 = 2.04 s.
- Πρόβλημα: Ένα αντικείμενο πέφτει για 6 δευτερόλεπτα. Ποια είναι η τελική του ταχύτητα; Λύση: Χρησιμοποιώντας v = v₀ + gt με αρχική ταχύτητα v₀ = 0, η τελική ταχύτητα v = 0 + 9.8×6 = 58.8 m/s.
- Πρόβλημα: Ένα μήλο πέφτει από ένα δέντρο και χρειάζεται 1.5 δευτερόλεπτο για να χτυπήσει στο έδαφος. Ποιο ήταν το ύψος του δέντρου; Λύση: Χρησιμοποιώντας h = ½gt², το ύψος h = ½x9.8x(1.5)² = 11 m.
- Πρόβλημα: Μια μπάλα ποδοσφαίρου κλωτσιέται κάθετα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα 25 m/s. Πόσο χρόνο χρειάζεται μέχρι να χτυπήσει στο έδαφος; Λύση: Χρόνος επίτευξης μέγιστου ύψους t = v₀ / g = 25 / 9.8 = 2.55 s. Ο συνολικός χρόνος για να φτάσει κανείς στο έδαφος είναι διπλάσιος από αυτόν, επομένως t = 2×2.55 = 5.1 s.
- Πρόβλημα: Μια πέτρα πέφτει από μια γέφυρα και χτυπάει στο νερό μετά από 4 δευτερόλεπτα. Πόσο ύψος έχει η γέφυρα; Λύση: Χρησιμοποιώντας h = ½gt², το ύψος h = ½x9.8×4² = 78.4 m.
- Πρόβλημα: Ένας πύραυλος εκτοξεύεται κατευθείαν προς τα πάνω με ταχύτητα 50 m/s. Πόσο ψηλά θα φτάσει; Λύση: Χρησιμοποιώντας h = v₀² / (2g), το ύψος h = (50)² / (2×9.8) = 127.55 m.
- Πρόβλημα: Μια μπάλα εκτοξεύεται προς τα κάτω με αρχική ταχύτητα 10 m/s. Ποια είναι η ταχύτητά της μετά από 2 δευτερόλεπτα; Λύση: Χρησιμοποιώντας v = v₀ + gt, η ταχύτητα v = 10 + 9.8×2 = 29.6 m/s.
- Πρόβλημα: Μια μπάλα εκτοξεύεται κάθετα προς τα πάνω και επιστρέφει στο έδαφος σε 6 δευτερόλεπτα. Ποια ήταν η αρχική της ταχύτητα; Λύση: Χρησιμοποιώντας v₀ = gt / 2 (δεδομένου ότι ο συνολικός χρόνος είναι διπλάσιος από τον χρόνο επίτευξης μέγιστου ύψους), η αρχική ταχύτητα v₀ = 9.8×6 / 2 = 29.4 m/s.
- Πρόβλημα: Ένα αντικείμενο πέφτει για 10 δευτερόλεπτα. Πόσο μακριά πέφτει; Λύση: Χρησιμοποιώντας h = ½gt², η απόσταση h = ½x9.8×10² = 490 m.
- Πρόβλημα: Μια μπίλια πέφτει από έναν πύργο και χρειάζεται 5 δευτερόλεπτα για να χτυπήσει στο έδαφος. Πόσο ψηλός είναι ο πύργος; Λύση: Χρησιμοποιώντας h = ½gt², το ύψος h = ½x9.8×5² = 122.5 m.
- Πρόβλημα: Μια μπάλα του μπέιζμπολ πετιέται κάθετα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα 15 m/s. Πότε θα φτάσει στο μέγιστο ύψος της; Λύση: Στο μέγιστο ύψος, v = 0. Λύνοντας την εξίσωση t = (v – v₀) / -g, ο χρόνος t = (0 – 15) / -9.8 = 1.53 s.
- Πρόβλημα: Ένα αντικείμενο πέφτει και διαρκεί 7 δευτερόλεπτα. Ποια είναι η τελική του ταχύτητα; Λύση: Χρησιμοποιώντας v = v₀ + gt με αρχική ταχύτητα v₀ = 0, η τελική ταχύτητα v = 0 + 9.8×7 = 68.6 m/s.
- Πρόβλημα: Μια πέτρα εκτοξεύεται προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα 30 m/s. Ποια θα είναι η ταχύτητά της μετά από 3 δευτερόλεπτα; Λύση: Χρησιμοποιώντας v = v₀ – gt, η ταχύτητα v = 30 – 9.8×3 = 0.6 m/s.
- Πρόβλημα: Μια πέτρα πέφτει από έναν γκρεμό και χτυπάει στο έδαφος μετά από 8 δευτερόλεπτα. Πόσο ύψος έχει ο γκρεμός; Λύση: Χρησιμοποιώντας h = ½gt², το ύψος h = ½x9.8×8² = 313.6 m.
-
Πρόβλημα: Ένα βέλος εκτοξεύεται κατευθείαν προς τα πάνω με ταχύτητα 60 m/s. Πόσο χρόνο χρειάζεται μέχρι να φτάσει στο έδαφος; Λύση: Χρόνος μέχρι το μέγιστο ύψος t = v₀ / g = 60 / 9.8 = 6.12 s. Ο συνολικός χρόνος για να φτάσει στο έδαφος είναι διπλάσιος, άρα t = 2×6.12 = 12.24 s.
