Άρθρο για την αρχή του Αρχιμήδη
Ένα πλοίο με τεράστια μάζα δεν βυθίζεται, ενώ μια πέτρα που έχει μικρό μέγεθος μπορεί να βυθιστεί. Γιατί συμβαίνει αυτό; Η απάντηση είναι απλή αν κατανοήσετε την έννοια της άνωσης και την αρχή του Αρχιμήδη.
Στην καθημερινή ζωή, θα διαπιστώσουμε ότι τα αντικείμενα που εισάγονται σε ένα ρευστό, όπως μια πέτρα, έχουν μικρότερο βάρος από ό,τι όταν αντικείμενα δεν βρίσκονται στο υγρό. Μπορεί να δυσκολεύεστε να σηκώσετε μια πέτρα από το έδαφος, αλλά η ίδια πέτρα ανυψώνεται αβίαστα από τον πυθμένα του θαλασσινού νερού. Αυτό οφείλεται στην άνωση. Η άνωση εμφανίζεται λόγω των διαφορών στην πίεση του ρευστού σε διαφορετικά βάθη. Η πίεση του ρευστού αυξάνεται με το βάθος, όσο πιο παχύ είναι το ρευστό, τόσο μεγαλύτερη είναι η πίεση του ρευστού. Όταν ένα αντικείμενο εισάγεται στο ρευστό, θα υπάρχει διαφορά πίεσης μεταξύ του ρευστού στην κορυφή του αντικειμένου και του ρευστού στον πυθμένα του αντικειμένου. Το ρευστό που βρίσκεται στον πυθμένα του αντικειμένου έχει υψηλότερη πίεση από το ρευστό στην κορυφή του αντικειμένου.
Στο σχήμα, μπορείτε να δείτε ένα αντικείμενο να επιπλέει στο νερό. Το υγρό στον πυθμένα του αντικειμένου έχει υψηλότερη πίεση από το υγρό που βρίσκεται στην κορυφή του αντικειμένου. Αυτό συμβαίνει επειδή το υγρό κάτω από το αντικείμενο έχει μεγαλύτερο βάθος από το υγρό πάνω από το αντικείμενο (p2 > ω1).
Η πίεση του ρευστού σε βάθος h2 είναι :
Η πίεση του ρευστού σε βάθος h1 είναι :
F2 = η δύναμη που ασκείται από το ρευστό στον πυθμένα του αντικειμένου, F1 = η δύναμη που ασκείται από το ρευστό στην κορυφή του αντικειμένου, A = η επιφάνεια του αντικειμένου
Η διαφορά μεταξύ F2 και F1 είναι η συνολική δύναμη που ασκείται από το ρευστό στο αντικείμενο, την οποία γνωρίζουμε ως δύναμη άνωσης. Το μέγεθος της άνωσης είναι:
F άνωση = F2 − F1
F άνωση = (ρ gh 2 A) − (ρ gh 1 A)
F άνωση = ρ g A (h 2 − h 1 )
F άνωση = ρ F g A h
F άνωση = ρ F g V
ρ F = πυκνότητα ρευστού, g = βαρυτική επιτάχυνση, V = όγκος των αντικειμένων στο ρευστό
Έτσι, μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση που δηλώνει την ποσότητα άνωσης (F άνωση) παραπάνω:
F άνωση = ρ F g V → m = ρ V
F άνωση = m F g
F άνωση = w F
m F g = w F = το βάρος του ρευστού που έχει τον ίδιο όγκο με τον όγκο του βυθισμένου αντικειμένου.
Με βάση την παραπάνω εξίσωση, μπορούμε να πούμε ότι η άνωση είναι ίση με το βάρος του ρευστού που εκτοπίζεται, ο όγκος του ρευστού που εκτοπίζεται είναι παρόμοιος με τον όγκο του αντικειμένου που βυθίζεται στο ρευστό.
Εάν το αντικείμενο εισαχθεί στο ρευστό, που επιπλέει, όπου το μέρος του αντικειμένου που εισάγεται είναι μόνο ένα μέρος,
τότε ο όγκος του ρευστού που εκτοπίζεται = ο όγκος του μέρους του αντικειμένου που βυθίζεται στο ρευστό. Ανεξάρτητα από το τι είναι το αντικείμενο και το σχήμα του, όλοι θα βιώσουν το ίδιο πράγμα. Αυτό είναι το αποτέλεσμα του έργου του Αρχιμήδη (287-212 π.Χ.), γνωστό ως Αρχή του Αρχιμήδη.
Η αρχή του Αρχιμήδη ορίζει ότι:
Όταν ένα αντικείμενο βυθίζεται εν όλω ή εν μέρει σε ένα υγρό, το υγρό θα ασκήσει μια ανοδική δύναμη (άνωση) στο αντικείμενο, όπου το ποσό της ανοδικής δύναμης (άνωση) ισούται με το βάρος του ρευστού που εκτοπίζεται.
Η ιστορία του Αρχιμήδη
Ο Αρχιμήδης, ο οποίος έζησε μεταξύ 287-212 π.Χ., ανέλαβε από τον βασιλιά Ιέρωνα Β' να διερευνήσει εάν το στέμμα που κατασκευάστηκε για τον βασιλιά ήταν φτιαγμένο από καθαρό χρυσό ή όχι. Για να διαπιστώσει εάν το στέμμα είναι φτιαγμένο από καθαρό χρυσό ή εάν περιέχει άλλα μέταλλα, ο Αρχιμήδης αρχικά μπερδεύτηκε. Το πρόβλημα είναι ότι το σχήμα του στέμματος είναι ακανόνιστο και δεν μπορεί να καταστραφεί πρώτα, ώστε να μπορεί να διαπιστωθεί εάν το στέμμα είναι φτιαγμένο από καθαρό χρυσό ή όχι.
Η ιδέα για να προσδιοριστεί εάν ένα στέμμα είναι κατασκευασμένο από καθαρό χρυσό ή όχι είναι να προσδιοριστεί πρώτα το βάρος του στέμματος και στη συνέχεια να συγκριθεί με το ειδικό βάρος του χρυσού. Εάν το στέμμα είναι κατασκευασμένο από καθαρό χρυσό, τότε το ειδικό βάρος του στέμματος = το ειδικό βάρος του χρυσού.
Το ειδικό βάρος ενός αντικειμένου είναι η αναλογία μεταξύ του βάρους του αντικειμένου στον αέρα και του βάρους του νερού που έχει τον ίδιο όγκο με τον όγκο των αντικειμένων. Μαθηματικά γράφεται:
Πώς να προσδιορίσετε το βάρος του νερού που έχει τον ίδιο όγκο με τον όγκο των αντικειμένων;
Σύμφωνα με τον Αρχιμήδη, το βάρος του νερού που έχει τον ίδιο όγκο με τον όγκο ενός αντικειμένου = το μέγεθος της άνωσης που ασκείται όταν το αντικείμενο βυθίζεται (ολόκληρο το μέρος του αντικειμένου βυθίζεται στο νερό). Αυτό είναι το ίδιο με το βάρος που χάνουν τα αντικείμενα όταν ζυγίζονται στο νερό. Επομένως:
Για να προσδιοριστεί το ειδικό βάρος της κορώνας, η κορώνα ζυγίζεται πρώτα στον αέρα (το βάρος της κορώνας στον αέρα). Στη συνέχεια, η κορώνα εισάγεται στο νερό και ζυγίζεται ξανά για να υπολογιστεί το βάρος που έχει χάσει η κορώνα. Έτσι:
Αφού ληφθεί το ειδικό βάρος του στέμματος, τότε συγκρίνεται με το ειδικό βάρος του χρυσού. Ειδικό βάρος χρυσού = 19.3. Εάν το ειδικό βάρος του στέμματος = ειδικό βάρος χρυσού, το στέμμα είναι κατασκευασμένο από καθαρό χρυσό. Αλλά αν το στέμμα δεν είναι κατασκευασμένο από καθαρό χρυσό, τότε το ειδικό βάρος του στέμματος δεν είναι το ίδιο με το ειδικό βάρος του χρυσού.
Γιατί δεν βυθίζεται το πλοίο;
Αν η πυκνότητα ενός αντικειμένου είναι μικρότερη από την πυκνότητα του νερού, τότε το αντικείμενο θα επιπλεύσει. Αντίθετα, αν η πυκνότητα ενός αντικειμένου είναι μεγαλύτερη από την πυκνότητα του νερού, τότε το αντικείμενο θα βυθιστεί. Τα περισσότερα πλοία είναι κατασκευασμένα από σίδηρο και χάλυβα. Πυκνότητα σιδήρου και χάλυβα = 7.8 x 10 3 kg/m 3 ενώ η πυκνότητα του νερού = 1.00 x 10 3 kg/m 3. Φαίνεται ότι η πυκνότητα του σιδήρου και του χάλυβα είναι μεγαλύτερη από την πυκνότητα του νερού. Σε αυτήν την περίπτωση, το ειδικό βάρος του σιδήρου και του χάλυβα = 7.8. Το πλοίο θα έπρεπε να βυθίζεται. Γιατί δεν βυθίζεται το πλοίο; Η συνολική πυκνότητα του πλοίου είναι μικρότερη από την πυκνότητα του νερού ή του θαλασσινού νερού.
Παράδειγμα προβλήματος 1:
Μια πέτρα με μάζα 40 kg βρίσκεται στον πυθμένα μιας λίμνης. Αν ο όγκος της πέτρας = 0.2 m3, ποια είναι η ελάχιστη δύναμη που απαιτείται για να ανυψωθεί η πέτρα;
Γνωστός:
Μάζα πέτρας (m) = 40 kg
Όγκος πέτρας (V) = 0.02 m3
Πυκνότητα νερού = 1000 kg/ m3
Επιτάχυνση της βαρύτητας (g) = 10 m/ s²
Ζητείται: Ελάχιστο F
Λύση:
F άνωση = w F
F άνωση = m F g → m = pV
F άνωση = ρ F g V
F άνωση = (1000 kg/m3 ) (10 m/s2 ) (0.02 m3 )
F άνωση = 200 kg m/ s²
F άνωση = 200 N
βάρος πέτρας (w) = mg
βάρος πέτρας = (40 kg)(10 m/ s² )
βάρος πέτρας = 400 kg m/ s²
βάρος πέτρας = 400 N
Η ελάχιστη δύναμη που απαιτείται για την ανύψωση της πέτρας:
βάρος πέτρας – δύναμη άνωσης = 400 N – 200 N = 200 N
Παράδειγμα προβλήματος 2:
Βάρος του αντικειμένου στο νερό = 5000 kg m/s 2 και βάρος του αντικειμένου στο νερό = 4000 kg m/s 2. Αν η πυκνότητα του αντικειμένου = 2000 kg/m 3 , ποια είναι η μάζα και ο όγκος του αντικειμένου; g = 10 m/s 2
Λύση
Επιτάχυνση της βαρύτητας (g) = 10 m/ s²
Πυκνότητα αντικειμένου = 2000 kg/ m3
Πυκνότητα νερού = 1000 kg/ m3
Βάρος αντικειμένου στον αέρα = 5000 kg m/ s²
Βάρος αντικειμένου στο νερό = 4000 kg m/ s²
Δύναμη άνωσης (F άνωση) = βάρος αντικειμένου στον αέρα – βάρος αντικειμένου στο νερό
Πλευστότητα F = 5000 kg m/s² – 4000 kg m/ s²
F άνωση = 1000 kg m/ s²
F άνωση = βάρος του εκτοπισμένου νερού
F άνωση = (μάζα νερού)(g)
F άνωση = (όγκος εκτοπισμένου νερού)(πυκνότητα νερού)(g)
Όγκος νερού που εκτοπίζεται = όγκος αντικειμένου στο νερό
Όγκος αντικειμένου = 0.1 m3
Μάζα αντικειμένου = ;
ρ = m / V
m = ρV
m = (2000 kg / m 3 ) (0.1 m 3 )
m = 200 kg
Μάζα αντικειμένου = 200 kg
Παράδειγμα προβλήματος 3:
Ποιος όγκος ηλίου χρειάζεται αν ένα μπαλόνι πρέπει να σηκώσει 500 κιλά φορτίου;
Λύση:
Πυκνότητα ηλίου = 0.1786 kg/ m3
Πυκνότητα αέρα = 1.293 kg/ m3
Δύναμη άνωσης = βάρος του εκτοπισμένου αέρα = βάρος του αντικειμένου + βάρος του ηλίου
Δύναμη άνωσης = βάρος αντικειμένου + βάρος ηλίου
Δύναμη άνωσης = (μάζα φορτίου)(g) + (μάζα ηλίου)(g)
Δύναμη άνωσης = (μάζα φορτίου + μάζα ηλίου)g —- εξίσωση 1
Δύναμη άνωσης = το βάρος του αέρα που μετατοπίζεται
Δύναμη άνωσης = (μάζα αέρα που μετατοπίστηκε)(g) —- εξίσωση 2
Συνδυάζουμε την εξίσωση 1 και την εξίσωση 2:
(μάζα φορτίου + μάζα ηλίου)(g) = (μάζα αέρα που μετατοπίστηκε)(g)
μάζα φορτίου + μάζα ηλίου = μάζα αέρα που εκτοπίζεται
500 kg + (ρ ήλιο)(V ήλιο) = (ρ νερό)(V νερό)
500 kg = (ρ νερό)(V νερό) – (ρ ήλιο)(V ήλιο)
Όγκος αέρα που εκτοπίστηκε (V αέρας) = Όγκος ηλίου στο μπαλόνι (V ήλιο)
500 kg = (ρ νερό – ρ ήλιο)(V)
Αυτή είναι η ελάχιστη ποσότητα ηλίου που απαιτείται για την ανύψωση βαρών στην επιφάνεια της γης. Για να ανέβει ψηλότερα το μπαλόνι, πρέπει να προστεθεί ο όγκος του ηλίου. Ο όγκος του ηλίου πρέπει να αυξηθεί επειδή η πυκνότητα του αέρα μειώνεται με το ύψος.
