Ονομάζεται εξίσωση Poiseuille επειδή ανακαλύφθηκε από τον αείμνηστο Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Όπως εξηγήθηκε, κάθε ρευστό μπορεί να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό. Τα ιδανικά ρευστά δεν έχουν ιξώδες. Αν φανταστούμε ένα ιδανικό ρευστό που ρέει σε έναν σωλήνα, κάθε μέρος του ρευστού κινείται με την ίδια ταχύτητα (v). Σε αντίθεση με τα ιδανικά ρευστά, τα πραγματικά ρευστά, ή τα ρευστά που συναντάμε στην καθημερινή ζωή, έχουν ιξώδες. Επειδή έχουν ιξώδες, όταν ρέουν σε έναν σωλήνα, για παράδειγμα, η ταχύτητα κάθε μέρους του ρευστού ποικίλλει. Το στρώμα ρευστού στη μέση κινείται πιο γρήγορα (v είναι μεγάλο), ενώ το στρώμα ρευστού που είναι προσαρτημένο στον σωλήνα δεν κινείται, δηλαδή ακίνητο (v = 0). Έτσι, από το κέντρο προς την άκρη του σωλήνα, κάθε μέρος του ρευστού κινείται με διαφορετικές ταχύτητες. Για να σας διευκολύνουμε να το καταλάβετε, παρατηρήστε την παρακάτω εικόνα…
Πληροφορίες:
R = ακτίνα σωλήνα/σωλήνα
v1 = ρυθμός ροής ρευστού στο κέντρο/άξονα του σωλήνα
v2 = ρυθμός ροής ρευστού σε απόσταση r2 από την άκρη του σωλήνα
v3 = ρυθμός ροής ρευστού σε απόσταση r3 από την άκρη του σωλήνα
v4 = ρυθμός ροής ρευστού σε απόσταση r4 από την άκρη του σωλήνα
r = απόσταση
Για να διασφαλιστεί ότι ο ρυθμός ροής κάθε ρευστού είναι ο ίδιος, πρέπει να υπάρχει διαφορά πίεσης και στα δύο άκρα οποιουδήποτε σωλήνα ή αγωγού μέσω του οποίου ρέει το ρευστό. Με τον όρο ρευστό εδώ, εννοούμε πραγματικά ρευστά, όπως νερό ή λάδι που ρέει μέσω ενός σωλήνα, αίμα που ρέει μέσω αιμοφόρων αγγείων κ.λπ. Εκτός του ότι βοηθούν στην ομαλή ροή ενός πραγματικού ρευστού, οι διαφορές πίεσης μπορούν επίσης να επιτρέψουν τη ροή ρευστών σε σωλήνες σε διαφορετικά ύψη.
Ο Jean Louis Marie Poiseuille, ένας πρώην Γάλλος επιστήμονας που ενδιαφερόταν για τις φυσικές πτυχές της ανθρώπινης κυκλοφορίας του αίματος, διεξήγαγε έρευνα για να διερευνήσει πώς παράγοντες όπως οι διαφορές πίεσης, η διατομή ενός σωλήνα και το μέγεθος του σωλήνα επηρεάζουν την ταχύτητα ενός πραγματικού ρευστού. Τα αποτελέσματα που έλαβε ο Jean Louis Marie Poiseuille είναι γνωστά ως η εξίσωση Poiseuille.
Η εξίσωση Poiseuille μπορεί να εξαχθεί χρησιμοποιώντας την προηγουμένως εξαγόμενη εξίσωση συντελεστή ιξώδους. Χρησιμοποιούμε την εξίσωση ιξώδους επειδή η περίπτωση είναι παρόμοια, αν και όχι πανομοιότυπη. Κατά την εξαγωγή της εξίσωσης συντελεστή ιξώδους, λαμβάνουμε υπόψη τη ροή ενός πραγματικού στρώματος ρευστού μεταξύ δύο παράλληλων πλακών και το ρευστό μπορεί να κινηθεί λόγω της εφελκυστικής δύναμης (F). Η διαφορά είναι ότι η εξίσωση Poiseuille που θα εξαγάγουμε στην πραγματικότητα δηλώνει τους παράγοντες που επηρεάζουν τη ροή ενός πραγματικού ρευστού σε έναν σωλήνα/σωλήνα και το ρευστό ρέει λόγω διαφορών πίεσης. Επομένως, η εξίσωση συντελεστή ιξώδους πρέπει να προσαρμοστεί ξανά.
Τα ρευστά μπορούν να ρέουν λόγω διαφορών στην πίεση (τα ρευστά ρέουν από μέρη με υψηλή πίεση σε μέρη με χαμηλή πίεση), επομένως αντικαθιστούμε το F με p1 - Π2 (p1 > π2).
Κατά την εξαγωγή της εξίσωσης για τον συντελεστή ιξώδους, εξετάζουμε τη ροή ενός πραγματικού στρώματος ρευστού μεταξύ δύο παράλληλων πλακών. Κάθε τμήμα του ρευστού υφίσταται μια κανονική μεταβολή στην ταχύτητα κατά απόσταση l. Σε αυτήν την περίπτωση, ο ρυθμός ροής του ρευστού αλλάζει τακτικά από τον άξονα του σωλήνα προς την άκρη του σωλήνα. Το ρευστό στον άξονα του σωλήνα ρέει με μεγαλύτερη ταχύτητα (v). Όσο πιο κοντά στην άκρη, τόσο η ταχύτητα του ρευστού μειώνεται. Η ακτίνα του σωλήνα = η απόσταση μεταξύ του άξονα του σωλήνα και της άκρης του σωλήνα = R. Η απόσταση μεταξύ κάθε τμήματος του ρευστού και της άκρης του σωλήνα = r. Δεδομένου ότι ο αριθμός κάθε τμήματος του ρευστού είναι πολύ μεγάλος και η απόστασή τους από την άκρη του σωλήνα ποικίλλει επίσης, απλώς τη γράφουμε ως εξής:
v1 = η ταχύτητα του ρευστού σε απόσταση r1 από την άκρη του σωλήνα (r1 = R)
v2 = η ταχύτητα του ρευστού σε απόσταση r2 από την άκρη του σωλήνα (r2 < r1)
v3 = η ταχύτητα του ρευστού σε απόσταση r3 από την άκρη του σωλήνα (r3 < r2 < r1)
v4 = η ταχύτητα του ρευστού σε απόσταση r4 από την άκρη του σωλήνα (r4 < r3 < r2 < r1)
……………………………………… ..
vn = ταχύτητα ρευστού σε απόσταση rn από την άκρη του σωλήνα (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)
Ο αριθμός κάθε μέρους του ρευστού είναι πολύ μεγάλος και επίσης δεν γνωρίζουμε ακριβώς πόσο είναι στην πραγματικότητα, οπότε αρκεί να τον γράψουμε με το σύμβολο n. Κάθε μέρος του ρευστού υφίσταται μια τακτική μεταβολή του ρυθμού (v), από τον άξονα του σωλήνα (r1 = R) προς την άκρη του σωλήνα (rn). Από τον άξονα του σωλήνα (r1 = R) προς την άκρη του σωλήνα (rn), ο ρυθμός κάθε μέρους του ρευστού μειώνεται (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).
Από την παραπάνω εξήγηση, μπορούμε να καταλάβουμε ότι από το R στο rn, ο ρυθμός του ρευστού μειώνεται. Το μήκος του σωλήνα = L. Η εξίσωση που προκύπτει είναι:
Επειδή αυτό που εξετάζουμε είναι ο ρυθμός (v) ροής ρευστού, η εξίσωση 2 γίνεται:
Αυτή είναι η εξίσωση για τον ρυθμό ροής ρευστού σε απόσταση r από έναν σωλήνα με ακτίνα R. Εάν έχετε μπερδευτεί κοιτάζοντας την παραπάνω εικόνα... Λάβετε υπόψη ότι το ρευστό ρέει σε έναν σωλήνα ή αγωγό, επομένως πρέπει να επανεξετάσουμε τον ρυθμό ροής όγκου του ρευστού.
Μέσα στον σωλήνα υπάρχει ένα ρευστό. Για παράδειγμα, διαιρούμε το ρευστό σε πολύ μικρά κομμάτια, όπου κάθε κομμάτι έχει μονάδα εμβαδού dA, απέχει από τον άξονα του σωλήνα και έχει ρυθμό ροής v. Μαθηματικά, αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής:
dA1 = τμήμα ρευστού 1, το οποίο απέχει 1 από τον άξονα του σωλήνα
dA2 = τμήμα ρευστού 2, το οποίο απέχει 2 από τον άξονα του σωλήνα
dA3 = τμήμα ρευστού 3, το οποίο απέχει 3 από τον άξονα του σωλήνα
..................................
dA n = διατομή ρευστού n, η οποία είναι η απόσταση dA n από τον άξονα του σωλήνα
Υπάρχουν τόσα πολλά κομμάτια ρευστού που είναι βολικό να τα γράψουμε απλώς με το σύμβολο n. Ο ρυθμός ροής όγκου κάθε κομματιού ρευστού μπορεί να γραφτεί μαθηματικά ως εξής:
Κάθε κομμάτι ρευστού βρίσκεται σε απόσταση r = 0 έως r = R (R = η ακτίνα του σωλήνα). Με άλλα λόγια, η απόσταση κάθε κομματιού ρευστού ποικίλλει όταν μετριέται από τον άξονα του σωλήνα. Αν πειραματιστούμε με τον λογισμό (ολοκλήρωση), θα λάβουμε την εξίσωση για τον ρυθμό ροής όγκου του ρευστού στον σωλήνα:
Πληροφορίες:
Q = Χρέωση
R = Εσωτερική ακτίνα σωλήνα ή αγωγού
η = Συντελεστής ιξώδους
P1 - Π2 = Διαφορά πίεσης μεταξύ των δύο άκρων του σωλήνα
L = Μήκος σωλήνα
p1-p2/L = Διαβάθμιση πίεσης (η ροή του ρευστού πηγαίνει πάντα προς την κατεύθυνση της μείωσης της πίεσης)
Με βάση την παραπάνω εξίσωση Poiseuille, φαίνεται ότι ο ρυθμός ροής όγκου του ρευστού, γνωστός και ως εκροή (Q), είναι ανάλογος προς την τέταρτη δύναμη της ακτίνας του σωλήνα (R).4), κλίση πίεσης (p2 - Π1 /L) και είναι αντιστρόφως ανάλογη με το ιξώδες. Εάν η ακτίνα του σωλήνα αυξηθεί (ο συντελεστής ιξώδους και η κλίση πίεσης παραμένουν σταθερές), τότε ο ρυθμός ροής του ρευστού αυξάνεται κατά 16 φορές.
Η βασική ιδέα σχεδιασμού σωλήνων, συριγγών κ.λπ. χρησιμοποιεί αυτήν την εξίσωση. Η εκροή υγρού είναι ανάλογη με το R4 (R = ακτίνα του σωλήνα). Η ακτίνα της σύριγγας ή η ακτίνα του σωλήνα πρέπει να υπολογιστεί προσεκτικά. Για παράδειγμα, αν διπλασιάσουμε την ακτίνα της βελόνας (r x 2), τότε η εκκένωση του υγρού που ψεκάζει = αυξάνει τη δύναμη πίεσης του αντίχειρα κατά 16 φορές.
Η εξίσωση Poiseuille δείχνει επίσης ότι η τέταρτη δύναμη της ακτίνας (r4), είναι αντιστρόφως ανάλογη με τη διαφορά πίεσης μεταξύ των δύο άκρων του σωλήνα. Για παράδειγμα, αρχικά το αίμα ρέει σε ένα αιμοφόρο αγγείο με εσωτερική ακτίνα r. Εάν υπάρχει στένωση του αιμοφόρου αγγείου (για παράδειγμα, r/2 = η εσωτερική ακτίνα του αιμοφόρου αγγείου μειώνεται κατά 2 φορές), τότε χρειάζεται διαφορά πίεσης 16 φορές για να ρέει το αίμα όπως πριν (ώστε η παροχή ή ο ρυθμός ροής του όγκου αίματος να παραμένει σταθερός).
