Κυκλική κίνηση

Η ζωή μας σήμερα έχει γίνει ευκολότερη και πιο άνετη με την ύπαρξη τροχοφόρων οχημάτων, σύγχρονου εξοπλισμού όπως γεννήτριες, φρέζες, ανεμιστήρες, χλοοκοπτικά μηχανήματα, ψεκαστήρες λουλουδιών και ούτω καθεξής. Τα τροχοφόρα οχήματα όπως τα ποδήλατα, οι μοτοσικλέτες, τα αυτοκίνητα και τα αεροπλάνα δεν μπορούν να κινηθούν αν δεν έχουν τροχούς ή αν οι τροχοί δεν περιστρέφονται. Τα ελικόπτερα ή τα αεροπλάνα επίσης δεν μπορούν να πετάξουν αν οι έλικες τους δεν περιστρέφονται. Τα πλοία δεν μπορούν να πλεύσουν αν οι γεννήτριες ή οι έλικες τους δεν περιστρέφονται. Τη νύχτα, το σπίτι γίνεται πίσσα σκοτάδι και δεν υπάρχει ψυχαγωγία αν η γεννήτρια ή ο σταθμός παραγωγής ενέργειας δεν λειτουργεί. Πολλά αντικείμενα εκτελούν κυκλική κίνηση κάθε μέρα. Ακόμα και χωρίς να το συνειδητοποιούν, η γη στην οποία ζούμε, το φεγγάρι που μας φωτίζει τη νύχτα, οι τεχνητοί δορυφόροι όπως οι δορυφόροι επικοινωνίας που αναμεταδίδουν ηλεκτρομαγνητικά κύματα για τηλεοπτικές, ραδιοφωνικές, κινητές τηλεφωνικές και διαδικτυακές εκπομπές, περιστρέφονται και κινούνται συνεχώς, δηλαδή κινούνται σε κύκλο ανά πάσα στιγμή.

Ένα αντικείμενο λέγεται ότι βρίσκεται σε κυκλική κίνηση αν η τροχιά του είναι κυκλική. Τα φυσικά μεγέθη στην κυκλική κίνηση αποτελούνται από γωνιακά μεγέθη (μεγέθη κυκλικής κίνησης) και γραμμικά μεγέθη (μεγέθη ευθύγραμμης κίνησης). Τα γωνιακά μεγέθη περιλαμβάνουν τη γωνιακή μετατόπιση, τη γωνιακή ταχύτητα και τη γωνιακή επιτάχυνση. Τα γραμμικά μεγέθη είναι μεγέθη όπως στην ευθύγραμμη κίνηση, συμπεριλαμβανομένης της μετατόπισης (απόστασης), της ταχύτητας (ταχύτητας) και της επιτάχυνσης. Αντίθετα, τα μεγέθη κυκλικής κίνησης συνήθως αναφέρονται ως γωνιακά μεγέθη . Στην κυκλική κίνηση, τα γραμμικά μεγέθη σχετίζονται με γωνιακά μεγέθη.

Μετατροπή μονάδων γωνίας (μοίρες, ακτίνια, περιστροφές)

1. ¼ στροφή = ….. ^o (μοίρες) ;
Συζήτηση
1 περιστροφή = 360^o
½ στροφή = 180^o
¼ στροφή = 90^o

2. ½ στροφή = …….. ακτίνια;
Συζήτηση
1 περιστροφή = 2 π ακτίνια = 2(3,14) ακτίνια = 6,28 ακτίνια
½ στροφή = π ακτίνια = 3,14 ακτίνια

3. 180^o (180 μοίρες) = ….. περιστροφή ή επανάσταση ?
Συζήτηση
360^o = 1 γύρος (1 επανάσταση)
180^o = ½ στροφή (1/2 επανάσταση)

4. 90^o = ….. ακτίνια;
Συζήτηση
360^o = 2 π ακτίνια = 2(3,14) ακτίνια = 6,28 ακτίνια
180^o = π ακτίνια = 3,14 ακτίνια
90^o = ½ pi radian = ½ (3,14) = 1,57

5. 60 ακτίνια = ….. περιστροφή;
Συζήτηση
6,28 ακτίνια = 1 περιστροφή
60 ακτίνια/6,28 = 9,55 περιστροφές

6. 40 ακτίνια = ….. ^o (μοίρες) ;
Συζήτηση
6,28 ακτίνια = 360^o
40 ακτίνια/6,28 = (6,37)(360^o) = 2292,99^o

Γωνιακή ταχύτητα

Παράδειγμα προβλημάτων.
1. Ο τροχός περιστρέφεται δεξιόστροφα, σχηματίζοντας γωνία 180 μοιρών^o για 2 δευτερόλεπτα και 90^o για 1 δευτερόλεπτο. Προσδιορίστε το μέγεθος και την κατεύθυνση της μέσης γωνιακής ταχύτητας!
Συζήτηση
Μεγάλο = 9^o/δευτερόλεπτο = …. περιστροφή/δευτερόλεπτο = ….. ακτίνιο/δευτερόλεπτο;
Κατεύθυνση = δεξιόστροφη κατεύθυνση.

2. Ο τροχός περιστρέφεται δεξιόστροφα, σχηματίζοντας γωνία 360 μοιρών^o για 4 δευτερόλεπτα, έπειτα ο τροχός περιστρέφεται κατά 180 μοίρες^o για 2 δευτερόλεπτα αριστερόστροφα. Πόσα μέση γωνιακή ταχύτητα τροχός;
Συζήτηση
Μεγάλο = 3^o/δευτερόλεπτο = …. περιστροφή/δευτερόλεπτο = ….. ακτίνιο/δευτερόλεπτο;
Κατεύθυνση = δεξιόστροφη κατεύθυνση.

Στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα
Το μέγεθος της στιγμιαίας γωνιακής ταχύτητας = το μέγεθος της γωνιακής ταχύτητας που διανύεται σε πολύ σύντομο χρονικό διάστημα.
Σε ευθύγραμμη ή γραμμική κίνηση, υψηλή ταχύτητα μπορεί να ονομαστεί ταχύτητα καρένα μεγάλη μετατόπιση ίση σε αξία με απόσταση αν είναι πολύ μικρό. Σε κυκλική κίνηση, μεγάλη γωνιακή ταχύτητα μπορεί να ονομαστεί γωνιακή ταχύτητα καρένα μεγάλη γωνιακή μετατόπιση ίση σε αξία με απόσταση γωνία αν είναι πολύ μικρό.

Μέση Γωνιακή Επιτάχυνση
Παράδειγμα προβλημάτων.
1. Ένας ανεμόμυλος που αρχικά παραμένει ακίνητος για μια στιγμή και στη συνέχεια περιστρέφεται λόγω του ανέμου. Μετά από 2 δευτερόλεπτα, η γωνιακή ταχύτητα αυξάνεται στις 90°.^o/s. Πόσο; μέση γωνιακή επιτάχυνση ανεμόμυλος;
Συζήτηση
Κατά μέσο όρο, μεγάλη γωνιακή ταχύτητα Οι ανεμόμυλοι αυξήθηκαν κατά 45^o/s κάθε 1 δευτερόλεπτο.

2. Η προπέλα αρχικά περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα 180°^o/s, 2 δευτερόλεπτα αργότερα σταματά να περιστρέφεται. Πόσα μέση γωνιακή επιβράδυνση ανεμόμυλος;
Συζήτηση
Κατά μέσο όρο, μεγάλη γωνιακή ταχύτητα ανεμόμυλοι μειωμένοι κατά 90^o/s κάθε 1 δευτερόλεπτο.

Στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση
Η στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση συνήθως αναφέρεται ως γωνιακή επιτάχυνση. Η στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση είναι η μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας σε πολύ σύντομο χρονικό διάστημα. Μαθηματικά:

Περίοδος και συχνότητα κυκλικής κίνησης
Η περίοδος δηλώνει τον χρόνο που απαιτείται για να ολοκληρώσει ένα σωματίδιο μία περιστροφή, ενώ η συχνότητα δηλώνει τον αριθμό των περιστροφών ανά δευτερόλεπτο.
Η σχέση μεταξύ περιόδου και συχνότητας εκφράζεται μέσω της εξίσωσης:
f = 1 / Τ
Η διεθνής μονάδα περιόδου είναι το δευτερόλεπτο, ενώ η μονάδα συχνότητας του διεθνούς συστήματος είναι το 1/δευτερόλεπτο ή hertz.

Ταχύτητα και Γωνιακή Ταχύτητα
Η εφαπτομενική ταχύτητα και η γωνιακή ταχύτητα ενός σωματιδίου που κινείται σε κύκλο μπορούν να εκφραστούν με βάση την περίοδο και τη συχνότητα.
Το μέγεθος της ταχύτητας ενός σωματιδίου που εκτελεί κυκλική κίνηση εκφράζεται από την εξίσωση:
Το μέγεθος της γωνιακής ταχύτητας ενός σωματιδίου που κινείται σε κύκλο εκφράζεται από την εξίσωση:
Πληροφορίες:

Παράδειγμα προβλημάτων

1. Δύο τροχοί Α και Β με αριθμό δοντιών 20 και 50 αντίστοιχα τοποθετούνται σε επαφή έτσι ώστε κάθε γρανάζι να είναι ζευγαρωμένο. Εάν ο τροχός Α περιστρέφεται 50 φορές σε ένα δευτερόλεπτο, η γωνιακή ταχύτητα του τροχού Β είναι….

Συζήτηση

Είναι γνωστό:

Αριθμός δοντιών στον τροχό A = 20

Αριθμός δοντιών στον τροχό Β = 50

Γωνιακή ταχύτητα του τροχού A ( ω _A ) = 50 στροφές/δευτερόλεπτο

1 περιστροφή = 2π ακτίνια

(50)(2π ακτίνια)/δευτερόλεπτο = 100π ακτίνια/δευτερόλεπτο

Ερώτηση: Γωνιακή ταχύτητα του τροχού Β ( ω _Β )

Τζαβάμπ:

Γραμμική ταχύτητα του τροχού A: v _A = r _A ω _A

Γραμμική ταχύτητα του τροχού Β: v _B = r _B ω _B

Οι δύο τροχοί βρίσκονται σε επαφή, επομένως η γραμμική τους ταχύτητα είναι η ίδια.

v _A = v _B

rA _{ω A} = rB _{ω B}​​

(20)( 100π rad/s) = (50)(ω _B )

(2)(100π rad/s) = (5)(ω _B )

(2)(20π rad/s) = ω _B

ω _B = 40π rad/s

2. Ερωτήσεις Πανελλαδικών Εξετάσεων SMA/MA 2017

Κοιτάξτε την ακόλουθη εικόνα.

Μια μοτοσικλέτα κινείται σε μια καμπύλη με γωνία κλίσης α (tan α = 2/5) ως προς το άκρο του δρόμου. Η μέγιστη ταχύτητα για να αποτραπεί η ολίσθηση της μοτοσικλέτας είναι 20 ms ^-1 . Ποια είναι η ακτίνα της καμπύλης;

Α. 50 μ.

Β. 100 μ.

Γ. 200 μ.

Δ. 250 μ.

Α. 400 μ.

Συζήτηση

Είναι γνωστό ότι:

Μέγιστη ταχύτητα (v) = 20 m/s

εφαπτομένη α = 2/5

Συντελεστής στατικής τριβής (μ _s ) = εφαπτομένη α = 2/5

Ερώτηση: Ακτίνα κάμψης (r)

Απάντηση:

Τύπος κεντρομόλου επιτάχυνσης:

Πληροφορίες:

a _s = κεντρομόλος επιτάχυνση, v = ταχύτητα, r = ακτίνα καμπυλότητας

Η μόνη προκύπτουσα οριζόντια δύναμη που ασκείται σε ένα αυτοκίνητο όταν στρίβει είναι η στατική τριβή. Ο τύπος για τη στατική τριβή είναι:

Πληροφορίες:

f _s = στατική δύναμη τριβής, μ _s = συντελεστής στατικής τριβής, w = βάρος, m = μάζα, g = επιτάχυνση λόγω βαρύτητας

Ο τύπος του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα για την κυκλική κίνηση:

Η σωστή απάντηση είναι η Β.

3. Ερωτήσεις Πανελλαδικών Εξετάσεων SMA/MA 2017

Τέσσερις τροχοί συνδέονται όπως φαίνεται παρακάτω!

Ακτίνα R_A = 6 cm, R_B = 3 cm, R_C = 2 cm και R_D = 5 cm και ο τροχός Α περιστρέφεται με γραμμική ταχύτητα 3 ms^-1, τότε η γωνιακή ταχύτητα του τροχού D είναι…

Συζήτηση

Είναι γνωστό ότι:

R _A = 6 cm = 0,06 m, R _B = 3 cm = 0,03 m, R _C = 2 cm = 0,02 m, R _D = 5 cm = 0,05 m.

v _A = 3 ms ^-1

Ερώτηση: γωνιακή ταχύτητα τροχού D ( ω _D )

Απάντηση:

Γωνιακή ταχύτητα του τροχού Α:

v _A = r _A ω _A

ω _A = v _A / r _A = 3 / 0,06 = 50 rad/s

Οι τροχοί Α και Β περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα.

ω _A = ω _B = 50 rad/s

Γωνιακή ταχύτητα του τροχού Β:

ω _B = 50 rad/s

Γραμμική ταχύτητα του τροχού Β:

vB = _{rB ωB​}​

v _B = (0,03)(50 rad/s)

vB ₌ 1,5 m/s

Ο τροχός Β και ο τροχός Γ έχουν την ίδια γραμμική ταχύτητα.

vB = vC ₌ 1,5 m/ _s

Ο τροχός C και ο τροχός D έχουν την ίδια γραμμική ταχύτητα.

vC = vD ₌ 1,5 m/ _s

Γωνιακή ταχύτητα του τροχού D:

ω _D = v _D / r _D = 1,5 / 0,05 = 30 rad/s