Wie berechnet man die Standardabweichung?
Die Standardabweichung ist eines der am häufigsten verwendeten statistischen Maße, um zu bestimmen, wie stark Daten um ihren Mittelwert streuen. Im Alltag hilft sie uns, die Stabilität oder Variabilität eines Phänomens zu verstehen: beispielsweise Schwankungen bei Testergebnissen, Umsatzschwankungen, Größenunterschieden und sogar die Risiken in Finanzdaten. Je kleiner die Standardabweichung, desto näher liegen die Daten am Mittelwert. Umgekehrt deutet eine große Standardabweichung darauf hin, dass die Daten weit vom Mittelwert entfernt sind und eine hohe Streuung aufweisen.
In diesem Artikel werden die Bedeutung der Standardabweichung, die verwendete Formel und die Schritte zur manuellen Berechnung anhand leicht verständlicher Beispiele erläutert.
1. Definition der Standardabweichung
Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Die Varianz selbst ist der Durchschnitt der quadrierten Abweichungen jedes Datenpunkts vom Mittelwert. Warum quadrieren? Weil die Abweichungen zwischen den Datenpunkten und dem Mittelwert positiv oder negativ sein können. Würde man sie direkt addieren, würden sich negative und positive Abweichungen gegenseitig aufheben, was zu irreführenden Ergebnissen führen könnte. Durch Quadrieren der Abweichungen werden alle Werte positiv, wodurch eine genauere Messung der Datenverteilung ermöglicht wird.
Einfach:
– Varianz = Streuungsmaß in „quadratischen“ Einheiten.
– Standardabweichung = ein Maß für die Streuung, die auf die ursprünglichen Dateneinheiten zurückgeführt wurde.
Beispiel: Liegen die Daten in Form von Testergebnissen (Punkteinheiten) vor, wird die Varianz in Punkten angegeben, während die Standardabweichung ebenfalls in Punkten angegeben wird, was die Interpretation erleichtert.
2. Standardabweichung der Grundgesamtheit im Vergleich zur Stichprobe
Vor der Berechnung ist es wichtig zu wissen, welche Art von Daten Sie haben:
1. Population: Die Daten umfassen alle Mitglieder, die untersucht werden sollen.
Die Formel zur Berechnung der Standardabweichung einer Grundgesamtheit verwendet den Divisor N (Anzahl der Daten).
2. Stichprobe: Die Daten stellen nur einen Teil der Grundgesamtheit dar und werden üblicherweise verwendet, um eine größere Grundgesamtheit zu repräsentieren.
Die Formel für die Standardabweichung einer Stichprobe verwendet einen Divisor (n − 1), um die Schätzverzerrung zu korrigieren. Diese Korrektur wird als Bessel-Korrektur bezeichnet.
Im Alltag (z. B. bei Forschung, Umfragen, Klassenanalysen) werden Daten oft als Stichprobe betrachtet, daher ist der Divisor (n − 1).
3. Formel für die Standardabweichung
A. Formel für die Standardabweichung der Grundgesamtheit
Angenommen, die Daten lauten: \( x_1, x_2, \dots, x_N \)
Bevölkerungsdurchschnitt:
\[
\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
Populationsvarianz:
\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – \mu)^2}{N}
\]
Standardabweichung der Grundgesamtheit:
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]
B. Formel für die Stichprobenstandardabweichung
Stichprobenmittelwert:
\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
Stichprobenvarianz:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
Standardabweichung der Stichprobe:
\[
s = \sqrt{s^2}
\]
4. Schritte zur manuellen Berechnung der Standardabweichung
Um das Ganze verständlicher zu machen, verwenden wir das Beispiel der Prüfungsergebnisse von 5 Schülern:
Daten: 60, 70, 70, 80, 90
Nehmen wir an, dass es sich bei diesen Daten um eine Stichprobe handelt (wie sie in Lernbeispielen üblich ist).
Schritt 1: Berechnen Sie den Durchschnitt
\[
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]
Der Durchschnittswert beträgt also 74.
Schritt 2: Berechne die Differenz zwischen jedem Datenpunkt und dem Durchschnitt.
Erstelle eine Differenzspalte \( (x_i – \bar{x}) \):
– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16
Schritt 3: Quadrieren Sie die Differenz
Berechne \( (x_i – \bar{x})^2 \):
– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256
Schritt 4: Addiere die Quadrate der Differenzen
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]
Schritt 5: Berechnen Sie die Varianz (bei einer Stichprobe durch n − 1 teilen)
Da n = 5, dann ist n − 1 = 4:
\[
s² = 520/4 = 130
\]
Die Stichprobenvarianz beträgt also 130.
Schritt 6: Die Standardabweichung durch Ziehen der Quadratwurzel aus der Varianz erhalten.
\[
s = \sqrt{130} \approx 11{,}40
\]
Die Standardabweichung der Daten beträgt also ungefähr 11,40. Das bedeutet, dass die Punktzahlen der Schüler im Durchschnitt um etwa 11 Punkte vom Mittelwert von 74 abweichen.
5. Schnellmethode: Alternative Formel (Berechnung)
Neben der oben beschriebenen manuellen Methode gibt es eine Berechnungsformel, die häufig verwendet wird, um die Berechnungen zu beschleunigen, insbesondere bei großen Datenmengen:
Stichprobenvarianz:
\[
s^2 = \frac{\sum x_i^2 – \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]
Diese Formel vermeidet die Berechnung der Differenzen einzeln, erfordert aber dennoch Genauigkeit bei der Berechnung der Summe der Quadrate der Daten.
Für ein tieferes Verständnis ist jedoch die schrittweise Methode (Differenz → Quadrat → Summe) in der Regel einfacher und fehlervermeidender.
6. Interpretation der Standardabweichung
Die Standardabweichung ist nicht nur eine Frage der Zahlen, sondern muss auch interpretiert werden:
– Kleine Standardabweichung: Die Daten konzentrieren sich um den Mittelwert, die Streuung ist gering, die Ergebnisse sind konsistenter.
– Große Standardabweichung: Die Daten streuen weit um den Mittelwert, die Varianz ist hoch, die Ergebnisse sind weniger konsistent.
Angenommen, zwei Klassen haben denselben Mittelwert von 74. Wenn Klasse A eine Standardabweichung von 5 und Klasse B eine Standardabweichung von 15 aufweist, sind die Werte in Klasse A gleichmäßiger und stabiler. Klasse B weist eine größere Streuung auf: Einige Werte sind sehr niedrig, andere sehr hoch.
7. Häufige Fehler
Häufige Fehler bei der Berechnung der Standardabweichung:
1. Es wurde vergessen, zwischen Stichprobe und Grundgesamtheit zu unterscheiden, daher ist der Divisor falsch (N statt n − 1).
2. Die falsche Berechnung des Durchschnitts führt dazu, dass alle nachfolgenden Schritte falsch sind.
3. Vergessen, die Differenz zu quadrieren, oder ein Fehler beim Ziehen der Quadratwurzel am Ende.
4. Rechenfehler beim Addieren oder Berechnen von Quadraten von Zahlen.
Fehler lassen sich vermeiden, indem man eine Berechnungstabelle erstellt und die Ergebnisse anschließend überprüft.
Penutup
Die Berechnung der Standardabweichung ist gar nicht so schwer, wenn man die Schritte richtig befolgt: Man berechnet den Mittelwert, ermittelt die Differenz zwischen den einzelnen Datensätzen, quadriert die Differenzen, addiert sie, teilt das Ergebnis (durch n oder n − 1) und zieht dann die Quadratwurzel. Indem man die Standardabweichung versteht, kann man beurteilen, wie konsistent die Daten sind und wie groß die Streuung ist.
Auf Wunsch kann ich Ihnen auch weitere Beispiele mit mehr Daten, Beispiele für gruppierte Daten (Häufigkeitstabellen) oder eine Anleitung zur Berechnung der Standardabweichung mit Excel/Google Sheets erstellen.
