Moment inertia ar gyfer gronynnau – problemau ac atebion

Moment inertia ar gyfer gronynnau – problemau ac atebion

1. Dwy bêl wedi'u cysylltu gan wialen, fel y dangosir yn y ffigur isod. Anwybyddwch fàs y wialen . Màs y bêl P yw 600 gram a màs y bêl Q yw 400 gram. Beth yw moment inertia'r system o amgylch AB?

Adnabyddus:

Echel y cylchdro yw AB.

m _p = 600 gram = 0.6 kg, m _q = 400 gram = 0.4 kg

r _p = 20 cm = 0.2 m, r _q = 50 cm = 0.5 m

Eisiau: Moment inertia'r system

Datrysiad:

I = m _p r _p ² + m _q r _q ²

I = (0.6 kg)(0.2 m) ^² + (0.4 kg)(0.5 m) ^²

I = (0.6 kg)(0.04 m² ⁾ + (0.4 kg)(0.25 ^m² )

I = 0.024 kg ^m² + 0.1 kg ^m²

I = 0.124 kg ^m²

2. Mae gwialen AB gyda màs o 2 kg wedi'i chylchdroi o amgylch pwynt A, moment inertia'r wialen yw 8 kg m ² . Os caiff ei chylchdroi o amgylch pwynt O (AO = OB), beth yw moment inertia'r wialen?

Adnabyddus:

Màs gwialen AB (m) = 2 kg

Os caiff ei gylchdroi o amgylch pwynt A fel bod radiws y cylchdro (r) = hyd AB = r yna mae moment inertia (I) = 8 kg ^m²

Eisiau: Os caiff ei gylchdroi o amgylch pwynt O fel bod radiws y cylchdro (r) = hyd AO = hyd OB = 1/2 r yna beth yw moment inertia'r wialen.

Datrysiad:

Fi = Mr. ²

8 kg ^m² = (2 kg) ^r²

8 m² ⁼ (2) ^r²

r² = 8 ^m² / ²

r² = ^{4 m²}

r = 2 fetr

Os caiff ei gylchdroi o amgylch pwynt O fel bod ½ r = 1 metr, yna'r foment inertia:

I = mr² ⁼ (2 kg)(1 m² ⁾ = (2 kg)(1 ^m² ) = 2 kg ^m²

3. Dwy bêl wedi'u cysylltu gan wialen fel y dangosir yn y ffigur isod. Anwybyddwch fàs y wialen. Beth yw moment inertia'r system.

Adnabyddus:

Màs y bêl A (m_A) = 200 gram = 0.2 kg

Màs y bêl B (m _B ) = 400 gram = 0.4 kg

Pellter rhwng pêl A ac echelin y cylchdro (r _A ) = 0

Pellter rhwng pêl B ac echelin y cylchdro (rB ₎ = 25 cm = 0.25 m

Eisiau: Moment inertia'r system

Datrysiad:

Moment inertia'r bêl A:

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(0) ² = 0

Moment inertia'r bêl B:

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m ²

Moment inertia'r system:

I = I _A + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 kg m ² = 25 x 10 ^-3 kg m ²

4. Pedwar gronyn â màsau gwahanol, a ddangosir yn y ffigur isod. Pennwch foment inertia'r system o amgylch y llinell lorweddol P.

Ateb

Echel y cylchdro yw'r llinell lorweddol P.

Adnabyddus:

Màs gronyn A (m _A ) = m

Màs gronyn B (m _B ) = 2m

Màs y gronyn C (m _C ) = 3m

Pasiad gronynnau D (m _D ) = 4m

Pellter rhwng gronyn A ac echelin y cylchdro (r _A ) = b

Pellter rhwng gronyn B ac echelin y cylchdro (rB ₎ = b

Pellter rhwng gronyn C ac echelin y cylchdro (r _C ) = 2b

Pellter rhwng gronyn D ac echelin y cylchdro (r _D ) = 2b

Eisiau: Moment inertia'r system o amgylch y llinell lorweddol P

Datrysiad:

I = m _A r _A ² + m _B r _B ² + m _C r _C ² + m _D r _D ²

I = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

I = 31 ^mb²

5. Pedwar gronyn wedi'u cysylltu gan wialen. Anwybyddwch fàs y wialen. Pennwch y foment inertia o amgylch echelin cylchdroi trwy ronynnau m1 _ac m2 _, fel y dangosir yn y ffigur isod.

Yn hysbys

Màs gronyn 1 (m₁) = 1/4 kg

Màs gronyn 2 (m2 ₎ = 1/2 kg

Màs gronyn 3 (m3 ₎ = 1/4 kg

Màs gronyn 4 (m4 ₎ = 1/4 kg

Pellter rhwng gronyn 1 ac echelin y cylchdro (r1 ₎ = 0

Pellter rhwng gronyn 2 ac echelin y cylchdro (r2 ₎ = 0

Pellter rhwng gronyn 3 ac echelin y cylchdro (r3 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Pellter rhwng gronyn 4 ac echelin y cylchdro (r4 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Eisiau: Y foment inertia

Datrysiad:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ² + m ₃ r ₃ ² + m ₄ r ₄ ²

I = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = 1/400 + 1/400

Rwy'n = 2/400

I = 1/200 ^kg.m²

1. Beth yw moment inertia gronyn?
   • AtebAr gyfer un gronyn o fàs $m$ o bell $r$ o echel cylchdro, ei foment inertia $I$ yn cael ei roi gan I=m×r².
2. Pam mae'r foment inertia yn aml yn cael ei galw'n "analog cylchdroadol" màs?
   • AtebYn union fel mae màs yn fesur o wrthwynebiad gwrthrych i newidiadau yn ei symudiad cyfieithu (oherwydd ail gyfraith Newton), mae'r foment inertia yn fesur o wrthwynebiad gwrthrych i newidiadau yn ei symudiad cylchdro.
3. Sut mae newid pellter gronyn o'i echel gylchdroi yn effeithio ar ei foment inertia?
   • AtebMae'r foment inertia yn gymesur â sgwâr y pellter o echelin y cylchdro. Os byddwch chi'n dyblu'r pellter, bydd y foment inertia yn cynyddu gan ffactor o bedwar.
4. Pam mae sgwâr y pellter (r²) a ddefnyddir yn y fformiwla ar gyfer y foment inertia yn lle'r pellter yn unig?
   • AtebDefnyddir sgwâr y pellter oherwydd y ffordd y mae egni cinetig mewn cylchdro yn gweithio. Mewn symudiad cylchdro, mae pob gronyn o wrthrych yn cyfrannu at yr egni cinetig cylchdro yn seiliedig ar ei fàs a'i bellter o'r echelin wedi'i sgwârio.
5. Sut mae moment inertia gronyn yn newid os yw ei fàs yn cael ei dreblu wrth gadw'r pellter o'r echelin yn gyson?
   • AtebOs caiff y màs ei dreblu a'r pellter ei gadw'n gyson, bydd y foment inertia hefyd yn treblu oherwydd ei fod mewn cyfrannedd uniongyrchol â'r màs.
6. A all gronyn gael moment inertia o sero? Os felly, o dan ba amodau?
   • AtebYdy, bydd gan ronyn foment inertia o sero os yw wedi'i leoli'n uniongyrchol ar echel y cylchdro, gan wneud ei bellter $r$ o'r echelin sy'n hafal i sero.
7. Pam mae gan wahanol wrthrychau gyda'r un màs a maint wahanol foment inertia wrth gylchdroi o amgylch gwahanol echelinau?
   • AtebMae dosbarthiad màs o amgylch echelin y cylchdro yn pennu'r foment inertia. Hyd yn oed os oes gan ddau wrthrych yr un màs a maint, gall eu dosbarthiadau màs o'i gymharu ag echelin y cylchdro amrywio, gan arwain at foment inertia gwahanol.
8. A yw'r foment inertia yn faint sgalar neu fector?
   • AtebMae moment inertia yn faint sgalar. Fodd bynnag, ar gyfer cyrff anhyblyg â siapiau cymhleth ac echelinau cylchdro lluosog, fe'i cynrychiolir gan tensor.
9. Os yw dau ronyn, pob un â màs $m$, wedi'u lleoli ar bellteroedd r_1​ ac r₂​ o echelin y cylchdro, beth yw'r foment inertia gyfunol?
   • AtebMae'r foment inertia yn ychwanegol ar gyfer gronynnau ar wahân. Felly, y foment inertia gyfunol I=m×r₁^{2 ​}+ m×r₂^2​.

10. Sut mae moment inertia yn gysylltiedig â chadwraeth momentwm onglog?

    • AtebMomentwm onglog $L$ yw cynnyrch moment inertia $I$ a chyflymder onglog $\omega$, a gynrychiolir gan yr hafaliad $L=I\times \omega$Os nad oes unrhyw dorciau allanol yn gweithredu ar system, bydd y momentwm onglog yn aros yn gyson. Mae hyn yn golygu os yw'r foment inertia yn newid (fel mewn sglefriwr ffigur yn tynnu ei freichiau i mewn), rhaid i'r cyflymder onglog addasu i gadw'r cynnyrch yn gyson.