Stojaté vlny – problémy a řešení
1. Třímetrová šňůra je na jednom konci uvázána a druhý konec je připojen k vibrátoru. Když vibrátor vibruje, šňůra vytváří stacionární vlnu , jak je znázorněno na obrázku níže.
Určete polohu 5. antinodu od pevného konce.
Řešení:
Vzdálenost mezi dvěma uzly = 3 metry / 5 = 3/5 metrů.
Vzdálenost mezi prvním uzlem a pevným koncem = 3/5 metru
Vzdálenost mezi druhým uzlem a pevným koncem = 2 (3/5 metru) = 6/5 metru
Vzdálenost mezi třetím uzlem a pevným koncem = 3 (3/5 metru) = 9/5 metru
Vzdálenost mezi čtvrtým uzlem a pevným koncem = 4 (3/5 metru) = 12/5 metru
Vzdálenost mezi uzlem a antinodem = 1/2 (3/5 metru) = 3/10 metru.
Vzdálenost mezi pátým antinodem a pevným koncem = vzdálenost mezi čtvrtým uzlem a pevným koncem + vzdálenost mezi uzlem a antinodem = 12/5 + 3/10 = 24/10 + 3/10 = 27/10 = 2.7 metru.
2. Jak je znázorněno na obrázku níže, jeden konec je připojen k vibrátoru a druhý konec je upevněn. Pokud je délka struny 1.5 metru, určete vzdálenost mezi čtvrtým uzlem a vibrátorem.
Řešení:
Vzdálenost mezi dvěma uzly = 1.5 metru / 11 = 1.5 / 11 metrů.
Vzdálenost mezi prvním uzlem a vibrátorem = 1.5 / 11 metrů
Vzdálenost mezi druhým uzlem a vibrátorem = 2 (1.5 / 11 metrů) = 3/11 metrů
Vzdálenost mezi třetím uzlem a vibrátorem = 3 (1.5 / 11 metrů) = 4.5 / 11 metrů
Vzdálenost mezi čtvrtým uzlem a vibrátorem = 4 (1.5 / 11 metrů) = 6/11 metrů = 0.54 metru
3. Struna má oba konce pevně napnuté, čímž vzniká základní tón s frekvencí 420 Hz. Určete třetí alikvotní tón.
A. 840 Hz
B. 1260 Hz
C. 1680 Hz
D. 2940 Hz
Známý:
Základní frekvence (f1 ) = 420 Hz
Oba konce jsou pevně uchyceny.
Hledá se: třetí alikvotní tón
Řešení:
První alikvotní tón (f² ) = 2 f¹ = 2 (420 Hz) = 840 Hz
Druhý alikvotní tón (f³ ) = 3, f1 = 3 (420 Hz) = 1260 Hz
Třetí alikvotní tón (f4 ) = 4f1 = 4 (420 Hz) = 1680 Hz
Správná odpověď je C.
4. Vlnová délka prvního alikvotního tónu struny je 40 cm. Pokud je rychlost zvukové vlny ve vzduchu 340 m/s, určete třetí alikvotní tón.
A. 850 Hz
B. 1600 Hz
C. 1700 Hz
D. 3200 Hz
Známý:
Vlnová délka prvního alikvotního tónu (λ) = 40 cm = 0.4 metru
Rychlost zvukové vlny ve vzduchu (v) = 340 metrů/s
Hledá se: frekvence třetího alikvotního tónu
Řešení:
Níže je znázorněn stojatý vlnový obraz na struně s oběma pevnými konci. Nejprve vypočítejte délku struny pomocí vlnové délky prvního alikvotního tónu. Poté, před výpočtem frekvence třetího alikvotního tónu, nejprve vypočítejte vlnovou délku třetího alikvotního tónu.
Vlnová délka prvního alikvotního tónu:
Délka řetězce (L) = 2 λ
Délka řetězce (L) = λ
Délka provázku (L) = 0.4 metru
Vlnová délka třetího alikvotního tónu:
L = 2λ
0.4 = 2 λ
λ = 0.4 / 2
λ = 0.2 metru
Frekvence třetího alikvotního tónu:
f = v / λ
f = 340 : 0.2
f = 1700 hertzů
Správná odpověď je C.
5. Trubice otevřená na obou koncích o délce 40 cm produkuje základní tón o frekvenci 420 Hz. Určete druhý alikvotní tón.
A. 380 Hz
B. 460 Hz
C. 840 Hz
D. 1260 Hz
Známý:
Délka trubky (L) = 40 cm = 0.4 metru
Frekvence základního tónu (f1 ) = 420 Hertzů
Hledá se: Frekvence druhého alikvotního tónu ( f³ )
Řešení:
Pokud je základní tón (f1 ) = 420 Hertzů, pak je druhý alikvotní tón (f3 ) = 3, f1 = 3 (420 Hertzů) = 1260 Hertzů.
Správná odpověď je D.
6. Zvuková vlna v uzavřené trubici má vlnový obrazec podobný…
A. Šíření vln na struně
B. Šíření vln ve vzdušném sloupci
C. Stojatá vlna na struně upevněné na jednom konci
D. Stojatá vlna na struně upevněné na obou koncích
Řešení:
Uzavřená trubice je trubice, která je na jednom konci otevřená, ale na druhém uzavřená, jak je znázorněno na obrázku výše.
Správná odpověď je C.
20 koncepčních otázek a odpovědí týkajících se stojatých vln:
1. Otázka: Co je to stojatá vlna?
Odpověď: Stojatá vlna je vlnový obrazec, který se jeví jako stacionární, s uzly a antinody, a je výsledkem interference dvou vln šířících se v opačných směrech.
2. Otázka: Jak se liší uzly a antinody?
Odpověď: Uzly jsou body s nulovou amplitudou, kde vlna zůstává v klidu, zatímco antinody jsou body s maximální amplitudou.
3. Otázka: Mohou stojaté vlny vznikat v jakémkoli prostředí?
Odpověď: Stojaté vlny se mohou tvořit v jakémkoli prostředí, které umožňuje šíření vln, jako jsou struny, vzduchové sloupce a voda.
4. Otázka: Jak souvisí frekvence stojaté vlny s jejím harmonickým číslem?
Odpověď: Základní frekvence (první harmonická) je nejnižší frekvence stojaté vlny. Vyšší harmonické mají frekvence, které jsou celočíselnými násobky základní frekvence.
5. Otázka: Co určuje umístění uzlů ve stojaté vlně?
Odpověď: Uzly vznikají tam, kde vlny šířící se v opačných směrech destruktivně interferují a vzájemně se ruší.
6. Otázka: Jak vznikají stojaté vlny na struně upevněné na obou koncích?
Odpověď: Když se vlna šířící se po struně odráží od pevného konce, interferuje s přicházejícími vlnami a vytváří stojatou vlnu, pokud frekvence splňují určité podmínky.
7. Otázka: Jaký je vztah mezi vlnovou délkou a délkou média ve stojaté vlně?
Odpověď: Pro strunu upevněnou na obou koncích je délka média celočíselným násobkem poloviny vlnové délky stojaté vlny.
8. Otázka: Proč stojaté vlny nepřenášejí energii napříč médiem?
Odpověď: Zatímco jednotlivé částice v médiu oscilují, celkový vlnový vzorec zůstává stacionární, takže nedochází k žádnému čistému přenosu energie v žádném konkrétním směru.
9. Otázka: Lze pozorovat stojaté vlny v otevřených trubicích?
Odpověď: Ano, stojaté vlny se mohou tvořit i v otevřených trubicích, ale okrajové podmínky se liší od uzavřených trubic a ovlivňují polohy uzlů a antinod.
10. Otázka: Co se stane se stojatou vlnou, když se zvýší napětí v struně?
Odpověď: Zvýšení napětí zvyšuje rychlost vlny, což může změnit frekvenci a tvar stojatého vlnění.
11. Otázka: Jaký je vztah mezi rezonancí a stojatým vlněním?
Odpověď: Rezonance nastává, když vnější síla nebo vibrace odpovídají vlastní frekvenci systému a vytvářejí výraznou stojatou vlnu.
12. Otázka: Jaká je základní frekvence?
Odpověď: Základní frekvence neboli první harmonická je nejnižší frekvence, na které může systém podporovat stojatou vlnu.
13. Otázka: Jaký je vztah mezi alikvotními tóny a harmonickými?
Odpověď: Alikvotní tóny jsou frekvence nad základní frekvencí. První alikvotní tón odpovídá druhé harmonické, druhý alikvotní tón třetí harmonické atd.
14. Otázka: Proč v uzlech nedochází k žádnému posunutí?
Odpověď: V uzlech jsou dvě interferující vlny fázově posunuty o 180°, což má za následek destruktivní interferenci a nulový posun.
15. Otázka: Mohou být stojaté vlny polarizovány?
Odpověď: Stojaté vlny na struně jsou příčné, a proto mají směr kmitání (polarizaci). V prostředí, jako je vzduch, jsou však stojaté zvukové vlny podélné a nevykazují polarizaci.
16. Otázka: Proč hudební nástroje využívají princip stojatých vln?
Odpověď: Hudební nástroje často produkují zvuk vytvářením stojatých vln, přičemž různé harmonické složky produkují různé hudební tóny.
17. Otázka: Jak souvisí rychlost vlnění s frekvencí a vlnovou délkou stojaté vlny?
Odpověď: Rychlost vlnění (v) je součin frekvence (f) a vlnové délky (λ): v = fx λ.
18. Otázka: Mohou dvě různé frekvence vytvářet stojaté vlny ve stejném prostředí?
Odpověď: Ano, pokud frekvence odpovídají podmínkám pro stojaté vlny v daném prostředí. Každá frekvence představuje jinou harmonickou.
19. Otázka: Jak se liší stojaté vlny v uzavřených trubicích od těch v otevřených trubicích?
Odpověď: V uzavřených trubkách má jeden konec uzel, zatímco druhý konec má antinod. V otevřených trubkách mají oba konce antinody.
20. Otázka: Mohou se v daném prostředí tvořit stojaté vlny s jakoukoli frekvencí?
Odpověď: Ne, stojaté vlny budou vytvářet pouze specifické frekvence, které splňují okrajové podmínky média.
Pochopení stojatých vln je klíčové v různých oblastech, od hudby až po telekomunikace, protože představují základní chování vln za specifických podmínek.
