3 Problémy a řešení týkající se rovnice momentu setrvačnosti
1. Válec má poloměr 8 cm a hmotnost 2 kg. Kule má poloměr 5 cm a hmotnost 4 kg. Pokud se obě tělesa otáčejí s osou procházející jejich středem, určete poměr momentu setrvačnosti válce a kuličky.
Známý:
Poloměr plného válce (r) = 8 cm = 0.08 m
Hmotnost plného válce (m) = 2 kg
Poloměr pevné koule (r) = 5 cm = 0.05 m
Hmotnost pevné koule (m) = 4 kg
Hledám: Porovnání momentu setrvačnosti válce a koule
Řešení :
Vzorec pro moment setrvačnosti plného válce:
I = ½ MR 2 = ½ (2) (0,08) 2 = 0,0064
Vzorec pro moment setrvačnosti pevné koule:
I = 2/5 MR 2 = 1/5 (4) (0,05) 2 = (0,8) (0,0025) = 0,002
Porovnání momentu setrvačnosti válce a koule:
0,0064 : 0,002
3,2 : 1
2. Plechovka, ve které byly umístěny sušenky, sloužila jako hračka. Hmotnost plechovky je 200 gramů a poloměr je 15 cm. Plechovka se kutálí po vodorovné podlaze. Pokud zanedbáme víko a dno plechovky, určete moment setrvačnosti plechovky.
Známý:
Plechovka připomíná dutý válec.
Hmotnost (m) = 200 gramů = 0.2 kg
Poloměr (r) = 15 cm = 0.15 m
Hledám:
Řešení:
Vzorec pro moment setrvačnosti dutého válce procházejícího osou:
I = MR² = (0,2)(0,15) ² = (0,2)(0,0225) = 0,0045 kg m²
3. Kotouč, který se může volně otáčet kolem svislé osy, se může otáčet rychlostí 80 otáček za minutu. Pokud je malý předmět o hmotnosti 4 x 10⁻² kg připevněn k kotouči vzdálenému 5 cm od osy, ukáže se, že rotace je 60 otáček za minutu, pak určete moment setrvačnosti kotouče.
Známý:
Počáteční úhlová rychlost (ω o ) = 80 ot./s = 4/3 ot./s
Počáteční moment setrvačnosti (Io ) = I
Konečná úhlová rychlost (ω t ) = 60 ot./s = 1 ot./s
Konečný moment setrvačnosti ( It ) = I + mr² = I + (0.04)(0.05) ² = I + (0.04)(0.0025) = I + 0.0425
Hledá se: moment setrvačnosti disku
Řešení:
Zákon zachování momentu hybnosti
Iωo = Iωt
I (4/3) = I + (0,0425 (1))
4 I / 3 = I + 0,0425
4 I = 3 I + 0,1275
4 I – 3 I = 0,1275
I = 0,1275 kg m²
