Říká se jí Poiseuillova rovnice, protože ji objevil zesnulý Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Jak bylo vysvětleno, každou tekutinu lze považovat za ideální tekutinu. Ideální tekutiny nemají viskozitu. Pokud si představíme ideální tekutinu proudící v potrubí, každá část tekutiny se pohybuje stejnou rychlostí (v). Na rozdíl od ideálních tekutin mají skutečné tekutiny, neboli tekutiny, se kterými se setkáváme v každodenním životě, viskozitu. Protože mají viskozitu, například při proudění v potrubí se rychlost každé části tekutiny mění. Vrstva tekutiny uprostřed se pohybuje rychleji (v je velké), zatímco vrstva tekutiny připojená k potrubí se nepohybuje, tj. zůstává v klidu (v = 0). Takže od středu k okraji potrubí se každá část tekutiny pohybuje různými rychlostmi. Abyste to snáze pochopili, podívejte se na obrázek níže…
keterangan:
R = poloměr trubky/potrubí
v1 = průtok kapaliny ve středu/ose trubice
v2 = průtok kapaliny ve vzdálenosti r2 od okraje trubky
v3 = průtok kapaliny ve vzdálenosti r3 od okraje trubky
v4 = průtok kapaliny ve vzdálenosti r4 od okraje trubky
r = vzdálenost
Aby byl zajištěn stejný průtok každé tekutiny, musí být na obou koncích potrubí nebo trubice, kterým tekutina proudí, tlakový rozdíl. Tekutinou zde myslíme skutečné tekutiny, jako je voda nebo olej proudící potrubím, krev proudící cévami atd. Kromě toho, že tlakové rozdíly pomáhají hladkému proudění skutečné tekutiny, mohou také umožnit proudění tekutin v potrubích v různých výškách.
Jean Louis Marie Poiseuille, bývalý francouzský vědec zajímající se o fyzikální aspekty lidského krevního oběhu, provedl výzkum, aby zjistil, jak faktory, jako jsou tlakové rozdíly, plocha průřezu trubice a velikost trubice, ovlivňují rychlost skutečné tekutiny. Výsledky, které Jean Louis Marie Poiseuille získal, jsou známé jako Poiseuillova rovnice.
Poiseuilleovu rovnici lze odvodit pomocí dříve odvozené rovnice koeficientu viskozity. Rovnici viskozity používáme, protože případ je podobný, i když ne identický. Při odvozování rovnice koeficientu viskozity uvažujeme proudění reálné vrstvy tekutiny mezi dvěma rovnoběžnými deskami a tekutina se může pohybovat v důsledku tahové síly (F). Rozdíl spočívá v tom, že Poiseuilleova rovnice, kterou odvodíme, ve skutečnosti uvádí faktory, které ovlivňují proudění reálné tekutiny v potrubí/trubici, a tekutina proudí v důsledku tlakových rozdílů. Proto je třeba rovnici koeficientu viskozity znovu upravit.
Kapaliny mohou proudit v důsledku rozdílů v tlaku (kapaliny proudí z míst s vysokým tlakem do míst s nízkým tlakem), proto nahrazujeme F za p1 - str2 (p1 > str.2).
Při odvozování rovnice pro koeficient viskozity uvažujeme proudění reálné vrstvy tekutiny mezi dvěma rovnoběžnými deskami. Každá část tekutiny zažívá pravidelnou změnu rychlosti o vzdálenost l. V tomto případě se průtok tekutiny pravidelně mění od osy trubice k okraji trubice. Tekutina v ose trubice proudí větší rychlostí (v). Čím dále k okraji, tím se rychlost tekutiny snižuje. Poloměr trubice = vzdálenost mezi osou trubice a okrajem trubice = R. Vzdálenost mezi každou částí tekutiny a okrajem trubice = r. Protože počet jednotlivých částí tekutiny je velmi velký a jejich vzdálenost od okraje trubice se také mění, zapíšeme to jednoduše takto:
v1 = rychlost kapaliny ve vzdálenosti r1 od okraje trubice (r1 = R)
v2 = rychlost kapaliny ve vzdálenosti r2 od okraje trubice (r2 < r1)
v3 = rychlost kapaliny ve vzdálenosti r3 od okraje trubice (r3 < r2 < r1)
v4 = rychlost kapaliny ve vzdálenosti r4 od okraje trubice (r4 < r3 < r2 < r1)
............................................. ..
vn = rychlost tekutiny ve vzdálenosti rn od okraje trubice (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)
Číslo každé části tekutiny je velmi velké a také nevíme přesně, kolik to ve skutečnosti je, takže stačí zapsat symbolem n. Každá část tekutiny pravidelně mění rychlost (v) od osy trubice (r1 = R) k okraji trubice (rn). Od osy trubice (r1 = R) k okraji trubice (rn) se rychlost každé části tekutiny zmenšuje (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).
Z výše uvedeného vysvětlení si můžeme udělat představu, že od R do rn se průtok kapaliny snižuje. Délka potrubí = L. Získaná rovnice je:
Protože uvažujeme rychlost (v) proudění tekutiny, rovnice 2 se stává:
Toto je rovnice pro výpočet průtoku tekutiny ve vzdálenosti r od potrubí o poloměru R. Pokud jste při pohledu na obrázek výše zmateni... Upozorňujeme, že tekutina proudí v potrubí nebo trubici, takže si musíme zopakovat objemový průtok tekutiny.
Uvnitř trubice je tekutina. Například tekutinu rozdělíme na velmi malé části, kde každá část má jednotkovou plochu dA, je vzdálena od osy trubice a má průtok v. Matematicky to lze zapsat takto:
dA1 = průřez kapaliny 1, což je vzdálenost 1 od osy trubice
dA2 = průřez kapaliny 2, což je vzdálenost 2 od osy trubice
dA3 = průřez kapaliny 3, což je vzdálenost 3 od osy trubice
..................................
dA n = průřez kapaliny n, což je vzdálenost dA n od osy trubice
Existuje tolik tekutinových částí, že je vhodné je jednoduše zapsat symbolem n. Objemový průtok každé tekutiny lze matematicky zapsat takto:
Každý kousek tekutiny je ve vzdálenosti r = 0 až r = R (R = poloměr trubice). Jinými slovy, vzdálenost každého kousku tekutiny se mění, měřeno od osy trubice. Pokud si pohrajeme s matematickou integrací, dostaneme rovnici pro objemový průtok tekutiny v trubici:
keterangan:
Q = Debet
R = Vnitřní poloměr trubky nebo trubice
η = Koeficient viskozity
P1 - str2 = Tlakový rozdíl mezi oběma konci potrubí
L = Délka potrubí
p1-p2/L = Tlakový gradient (tok kapaliny vždy směřuje ve směru klesajícího tlaku)
Na základě výše uvedené Poiseuilleovy rovnice se zdá, že objemový průtok kapaliny, zvaný výtok (Q), je úměrný čtvrté mocnině poloměru trubice (R).4), tlakový gradient (p2 - str1 /L) a je nepřímo úměrná viskozitě. Pokud se zvětší poloměr trubice (koeficient viskozity a tlakový gradient zůstávají konstantní), pak se průtok kapaliny zvýší 16krát.
Základní koncept navrhování potrubí, stříkaček atd. využívá tuto rovnici. Výtok kapaliny je úměrný R4 (R = poloměr trubice). Poloměr stříkačky nebo poloměr trubice je třeba pečlivě vypočítat. Například pokud zdvojnásobíme poloměr jehly (r x 2), pak vytékající kapalina = zvýší tlakovou sílu palce 16krát.
Poiseuilleova rovnice také ukazuje, že čtvrtá mocnina poloměru (r4), je nepřímo úměrný tlakovému rozdílu mezi oběma konci potrubí. Například krev zpočátku proudí cévou s vnitřním poloměrem r. Pokud dojde k zúžení cévy (například r/2 = vnitřní poloměr cévy se zmenší 2krát), pak je k tomu, aby krev proudila jako dříve (aby výtok nebo objemový průtok krve zůstal konstantní), zapotřebí tlakového rozdílu 16krát.
