Příkladové otázky k rovnici tečny ke kružnici
Úvod
Rovnice tečny ke kružnici je důležitým tématem v analytické geometrii. Pochopení toho, jak určit rovnici tečny ke kružnici, může pomoci vyřešit širokou škálu matematických problémů na středně pokročilé až pokročilé úrovni. Tento článek se bude zabývat různými příklady problémů a metodami pro určení rovnice tečny ke kružnici.
Definice a základní teorie
Kružnici v souřadnicové rovině lze obvykle reprezentovat kvadratickou rovnicí:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
kde \((a, b)\) je střed kružnice a \(r\) je poloměr kružnice.
Tečna ke kružnici z vnějšího bodu je přímka, která se dotýká kružnice přesně v jednom bodě. Pokud předpokládáme, že přímka má rovnici:
\[ y = mx + c \]
pak podmínku, že přímka \(y = mx + c\) bude tečná ke kružnici, lze vyjádřit následujícím způsobem:
\[ \sqrt{(a + bm)^2 – r^2} = |c| \]
Kde \(m\) je sklon tečny a \(c\) je konstanta.
Vzorec pro rovnici tečny
Pro tečnu ke kružnici se středem v bodě (0,0) a poloměrem (r) je její rovnice v bodě (x_1, y_1) na kružnici:
\[x_1x + y_1y = r^2 \]
Pokud je ale střed kružnice v bodě \((a, b)\), pak rovnice vypadá takto:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2 \]
Ukázkové otázky a diskuse
Otázka 1
Kružnice se středem v bodě \((3, 4)\) a poloměrem 5 jednotek. Určete rovnici tečny z bodu \((6, 8)\).
Diskuse:
V tomto příkladu máme kružnici se středem v bodě \(3, 4)\ a poloměrem 5 a musíme najít rovnici tečny z bodu \((6, 8)\). Zde jsou kroky k jejímu řešení:
1. Ověřte, že bod \((6, 8)\) neleží uvnitř kružnice: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
Bod tedy leží na kružnici, takže ho lze použít k nalezení tečny.
2. Použití vzorce:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 – 3) (x – 3) + (8 – 4) (y – 4) = 5^2
\]
3. Zjednodušte rovnici:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]
4. Rozvíjet:
\[
3x – 9 + 4y – 16 = 25
\]
\[
3x + 4 roky – 25 = 50
\]
Rovnice získané tečny je:
\[
3x + 4 roky = 50
\]
Otázka 2
Kružnice s rovnicí \[x^2 + y^2 = 16\]. Určete rovnici tečny z bodu \((4, 0)\).
Diskuse:
Kružnice se středem v bodě \((0, 0)\) a poloměrem 4 jednotky. Daný vnější bod je \((4, 0)\).
1. Použití vzorce pro kružnici se středem v bodě \((0, 0)\):
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]
2. Substituce hodnoty:
\[
4x + 0 \cdot y = 4^2
\]
3. Zjednodušte:
\[
4x = 16 XNUMX
\]
\[
x = 4
\]
Což znamená, že tečná rovnice, kterou máme, je:
\[
x = 4
\]
Otázka 3
Nakreslete přímku tečnou ke kružnici ((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9) v bodě ((-1, 5)).
Diskuse:
Kružnice se středem v bodě (-2, 3) a poloměrem 3 jednotky. Bod dotyku je v bodě (-1, 5).
1. Ověřte, že bod leží na kružnici:
\[
((-1+2)^2 + (5-3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \rightarrow \text{není na kružnici}
\]
Může tedy dojít k chybě v zadání otázky nebo bodu. Pokud je jako bod dotyku zadán \((-2, 6)\):
2. Zjednodušte:
\[
(x_1-a)(xa) + (y_1-b)(yb) = r^2
\]
Střídání:
\[
(-2-(-2))(x+2) + (6-3)(y-3) = 9\]
Výsledek:
\[
0 + 3(y-3) = 3^2
\]
\[
3r-9=9
\]
\[
y = 6
Ukazuje se, že bod a osoby:
y = 6 rozhodně platí.
Závěr - kontrola kombinace, zapamatování, 2 způsoby počítání.
platný/neplatný..To plus souhrn gar. td 2; ověření tvaru pomocí (mřížky). plis obvod všechna tlačítka pokrytí.
To je vše, děkuji a doufám, že to bude pro mé přátele užitečné.
Dále se seznamte s konceptem posilování porozumění.
Ti, kteří tomu dříve nerozuměli, pokud dá Bůh, budou mít podrobnější informace o kritických chirurgických krocích.
\[
.facts(n+x)=qa.\color{zabraňuje}-fu.
"
