Příkladové otázky a diskuse o korelaci součinových momentů
Korelace součinu momentů, známá také jako Pearsonova korelace, je statistická metoda používaná k měření síly a směru lineárního vztahu mezi dvěma proměnnými. Tato metoda je užitečná v různých oblastech, od akademického výzkumu a obchodní analýzy až po hodnocení experimentů v přírodních vědách. Tento článek se bude zabývat několika příklady problémů a jejich řešeními pro výpočet korelace součinu momentů.
Úvod
Než se pustíme do příkladových otázek, je dobré pochopit základní koncept korelace produktových momentů. Obecný vzorec používaný k výpočtu Pearsonova korelačního koeficientu (r) je:
\[ r = \frac{n(\suma{XY}) – (\suma{X})(\suma{Y})}{\sqrt{[n\suma{X^2} – (\suma{X})^2][n\suma{Y^2} – (\suma{Y})^2]}} \]
Dimana:
– \( n \) je počet datových párů.
– \( \sum{XY} \) je součet součinů \( X \) a \( Y \).
– \( \sum{X} \) je součet proměnných \( X \).
– \( \sum{Y} \) je součet proměnných \( Y \).
– \( \sum{X^2} \) je součet druhých mocnin proměnné \( X \).
– \( \sum{Y^2} \) je součet druhých mocnin proměnné \( Y \).
Pearsonův korelační koeficient (\( r \)) je vždy mezi -1 a 1. Pozitivní korelace znamená, že se obě proměnné pohybují stejným směrem, zatímco negativní korelace znamená, že s rostoucí hodnotou jedné proměnné se hodnota druhé snižuje. Pokud \( r = 0 \), pak mezi těmito dvěma proměnnými neexistuje lineární korelace.
Příklad otázky 1
Data
Následují výsledky zkoušek z matematiky a fyziky pro 5 studentů:
| Student | Matematika (X) | Fyzika (Y) |
|——-|——————-|————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Kroky řešení
1. Výpočet důležitých komponent:
– \( \suma{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \suma{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \suma{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Do vzorce dosadíme:
\[ r = \frac{n(\suma{XY}) – (\suma{X})(\suma{Y})}{\sqrt{[n\suma{X^2} – (\suma{X})^2][n\suma{Y^2} – (\suma{Y})^2]}} \]
\[r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Výpočet výsledků:
– Čitatel: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Jmenovatel:
– \( n\suma{X} – (\suma{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\suma{Y^2} – (\suma{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \krát 1276} \přibližně \sqrt{976856} \přibližně 989.36 \)
\[r = \frac{626}{989.36} \přibližně 0.633 \]
Pearsonův korelační koeficient mezi výsledky testů z matematiky a fyziky je tedy 0.633, což naznačuje, že mezi těmito dvěma proměnnými existuje mírná pozitivní korelace.
Příklad otázky 2
Data
Následují údaje o hodnotě tržeb a výdajích na reklamu za 6 měsíců ve společnosti:
| Měsíc | Reklama (X) | Prodej (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Kroky řešení
1. Výpočet důležitých komponent:
– \( \suma{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \suma{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Do vzorce dosadíme:
\[ r = \frac{n(\suma{XY}) – (\suma{X})(\suma{Y})}{\sqrt{[n\suma{X^2} – (\suma{X})^2][n\suma{Y^2} – (\suma{Y})^2]}} \]
\[r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Výpočet výsledků:
– Čitatel: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Jmenovatel:
– \( n\suma{X} – (\suma{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\suma{Y^2} – (\suma{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \krát 4580000} \přibližně \sqrt{9343200000000} \přibližně 3056246.20 \)
\[r = \frac{3000000}{3056246.20} \přibližně 0.981 \]
Pearsonův korelační koeficient mezi výdaji na reklamu a hodnotou tržeb je tedy 0.981, což naznačuje, že mezi těmito dvěma proměnnými existuje velmi silná pozitivní korelace.
Závěr
Pearsonův korelační koeficient (r) je velmi užitečný nástroj pro pochopení lineárního vztahu mezi dvěma proměnnými. V uvedených příkladech uvidíme, jak vypočítat hodnotu r a interpretovat ji. Vyšší korelace (blíže k 1 nebo -1) značí silnější vztah, zatímco nižší korelace (blíže k 0) značí slabší vztah. Je důležité si uvědomit, že korelace neznamená kauzalitu; jednoduše naznačuje, že mezi oběma proměnnými existuje vztah.
