Příklady otázek a diskuse o kruhových výsečích
Výseče kruhu jsou důležitým tématem v matematice, které se často objevuje v testech a cvičných otázkách. Výseč je část kruhu ohraničená dvěma poloměry a obloukem, který je spojuje. V tomto článku probereme několik příkladů úloh na téma výsečí kruhu spolu s podrobným vysvětlením, abychom prohloubili naše znalosti.
Definice kruhové výseče
Výseč kruhu je výseč kruhu ohraničená dvěma poloměry a jedním obloukem. Plocha výseče se vypočítá na základě zlomku celkové plochy kruhu. Hlavní vzorec používaný k výpočtu výseče je následující:
– Plocha Juringu: \[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \krát \pi \krát r^2\]
– Délka oblouku: \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \krát 2\pí r\]
Ruka:
– \( \theta \) je velikost sektorového úhlu ve stupních,
– \( r \) je poloměr kružnice,
– \( \pí \) je konstanta (přibližně 3.14159).
Contoh Soal a Pembahasan
Otázka 1:
Je dána kružnice o poloměru 10 cm a výseči se středovým úhlem 90°. Vypočítejte plochu výseče.
Diskuse:
Je známo:
– \(r = 10 \) cm
– \( \theta = 90^\circ \)
Používáme vzorec pro výpočet plochy sektoru:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \krát \pi \krát r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \krát \pi \krát (10\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} \krát \pi \krát 100\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 25\pi\text{ cm}^2\]
Pokud se bere \( \pi \) jako 3.14, pak:
\[L_juring = 25 \krát 3.14\text{ cm}^2 = 78.5\text{ cm}^2\]
Plocha sektoru je tedy 38 465 cm².
Otázka 2:
Výseč kruhu má poloměr 7 cm a délku oblouku 11 cm. Určete středový úhel výseče v radiánech.
Diskuse:
Je známo:
– \(r = 7 \) cm
– Délka oblouku \( P_b = 11 \text{ cm} \)
Pro výpočet úhlu \( \theta \ použijeme vzorec pro délku oblouku):
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \krát 2\pí r\]
Protože máme najít úhel v radiánech, nahradíme 360° za \(2\π\) radiány:
\[P_b = \theta \krát r\]
\[11 = \theta \krát 7\]
\[\theta = \frac{11}{7}\]
\[\theta \přibližně 1.57 \text{ rad}\]
Středový úhel sektoru je tedy 1.57 radiánů.
Otázka 3:
Kruh o poloměru 16 cm má výseč o ploše 200 cm². Vypočítejte středový úhel výseče.
Diskuse:
Je známo:
– \(r = 16 \) cm
– \( L_juring = 200 \text{ cm}^2 \)
Pro nalezení \theta použijeme vzorec pro výpočet plochy sektoru:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \krát \pi \krát r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \krát \pí \krát (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \krát \pí \krát 256\]
\[200 = \frac{\theta \krát 256 \krát \pí}{360^\circ}\]
\[200 \krát 360^\circ = \theta \krát 256 \krát 3.14\]
\[72000 = \theta \krát 256 \krát 3.14\]
\[72000 = \theta \krát 804.64\]
\[\theta = \frac{72000}{804.64}\]
\[\theta \přibližně 89.45^\circ\]
Středový úhel sektoru je tedy přibližně 89.45°.
Otázka 4:
Vypočítejte celkový obvod výseče, která má poloměr 12 cm a středový úhel 120°.
Diskuse:
Je známo:
– \(r = 12 \) cm
– \( \theta = 120^\circ \)
Nejprve zjistíme délku oblouku:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \krát 2\pí r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \krát 2\pí \krát 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \krát 2\pí \krát 12\]
\[P_b = 8\pí\cm\]
Pak vypočítáme obvod sektoru (délka oblouku + dva poloměry):
\[K = 2r + P_b\]
\[K = 2 \krát 12\text{ cm} + 8\pí\text{ cm}\]
\[K = 24 cm + 8 pí cm]
Pokud se bere \( \pi \) jako 3.14, pak:
\[K = 24\text{ cm} + 8 \krát 3.14\text{ cm}\]
\[K = 24 cm + 25.12 cm
\[K = 49.12\text{ cm}\]
Celkový obvod sektoru je tedy 49.12 cm.
Otázka 5:
Pokud kruh o poloměru 18 cm má výseč, která svírá úhel 45°, určete délku oblouku a plochu výseče.
Diskuse:
Je známo:
– \(r = 18 \) cm
– \( \theta = 45^\circ \)
1. Délka oblouku:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \krát 2\pí r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \krát 2\pí \krát 18\text{ cm}\]
\[P_b = \frac{1}{8} \krát 36\pí\cm}\]
\[P_b = 4.5\pí\cm\]
Pokud se bere \( \pi \) jako 3.14, pak:
\[P_b = 4.5 \krát 3.14\text{ cm} \přibližně 14.13\text{ cm}\]
Délka luku je tedy asi 14.13 cm.
2. Oblast sektoru:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \krát \pi \krát r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \krát \pi \krát (18\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} \krát \pi \krát 324\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 40.5\pi\text{ cm}^2\]
Pokud se bere \( \pi \) jako 3.14, pak:
\[L_juring = 40.5 \krát 3.14\text{ cm}^2 \přibližně 127.17\text{ cm}^2\]
Plocha sektoru je tedy přibližně 127.17 cm².
Závěr
V tomto článku jsme probrali několik příkladů úloh týkajících se výsečí kruhu a jejich řešení. Podstata pochopení výsečí kruhu spočívá v osvojení základních vzorců pro výpočet plochy výseče a délky oblouku. Časté procvičování a pochopení toho, jak tyto vzorce aplikovat na různé typy úloh, vám snad pomůže zlepšit vaši schopnost řešit podobné úlohy.
