Příkladové otázky a diskuse o rozdělení pravděpodobnosti
Rozdělení pravděpodobnosti je jedním ze základních pojmů ve statistice a pravděpodobnosti. Používá se k pochopení pravděpodobnosti výskytu různých hodnot náhodného čísla. Rozdělení pravděpodobnosti může mít mnoho podob v závislosti na povaze analyzovaných dat. Dva nejběžnější typy rozdělení pravděpodobnosti jsou diskrétní a spojité. V tomto článku si probereme několik příkladů problémů a probereme rozdělení pravděpodobnosti, abychom tomuto tématu lépe porozuměli.
Diskrétní distribuce
Diskrétní rozdělení je rozdělení, které vypočítává pravděpodobnost diskrétní náhodné proměnné, tj. proměnné, která může nabývat pouze určitých hodnot. Známými příklady diskrétních rozdělení jsou binomické rozdělení a Poissonovo rozdělení.
Příklad 1: Binomické rozdělení
Binomické rozdělení popisuje počet úspěchů v sérii Bernoulliho pokusů. Každý Bernoulliho pokus má dva výsledky: úspěch nebo neúspěch. Pravděpodobnost úspěchu zůstává po celou dobu trvání pokusu konstantní.
Otázka:
Farmaceutická společnost testuje nový lék na 10 pacientech. Pravděpodobnost, že lék u kteréhokoli pacienta zabere, je 0.7. Vypočítejte pravděpodobnost, že lék zabere přesně 7 z 10 pacientů.
Diskuse:
Náhodná proměnná \(X\) má binomické rozdělení s \(n = 10\) a \(p = 0.7\). Binomická pravděpodobnostní funkce je:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
Pro \(k = 7\):
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
Výpočet binomického koeficientu \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
Výpočet hodnot pravděpodobnosti:
\[ P(X = 7) = 120 \krát (0.7)^7 \krát (0.3)^3 \]
\[ P(X = 7) \přibližně 120 \krát 0.0823543 \krát 0.027 \]
\[ P(X = 7) \přibližně 0.231 \]
Pravděpodobnost, že lék zabere přesně 7 z 10 pacientů, je tedy přibližně 0.231 neboli 23.1 %.
Příklad 2: Poissonovo rozdělení
Poissonovo rozdělení se používá k modelování počtu výskytů vzácné události v daném časovém nebo prostorovém intervalu.
Otázka:
Obchod navštíví průměrně 4 zákazníky za hodinu. Jaká je pravděpodobnost, že obchod za hodinu navštíví přesně 5 zákazníků?
Diskuse:
Náhodná proměnná \(X\) má Poissonovo rozdělení s parametrem \(\lambda = 4\). Poissonova funkce pravděpodobnosti a hmotnosti je:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
Pro \(k = 5\):
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]
Počítat:
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \přibližně \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \přibližně 0.156 \]
Pravděpodobnost, že obchod navštíví za hodinu přesně 5 zákazníků, je tedy přibližně 0.156, neboli 15.6 %.
Kontinuální distribuce
Spojitá rozdělení se používají, když měřená náhodná proměnná může nabývat jakékoli hodnoty v určitém rozsahu. Známými příklady spojitých rozdělení jsou normální rozdělení a exponenciální rozdělení.
Příklad 3: Normální rozdělení
Normální rozdělení, často nazývané Gaussovo rozdělení, je rozdělení běžně používané v různých oblastech, včetně vědy, inženýrství a ekonomie.
Otázka:
Výšky dospělých mužů ve městě jsou normálně rozděleny s průměrem 170 cm a směrodatnou odchylkou 10 cm. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný muž měří mezi 160 cm a 180 cm?
Diskuse:
Potřebujeme vypočítat z-skóre pro 160 cm a 180 cm. Z-skóre je definováno jako:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Pro \(X = 160\):
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
Pro \(X = 180\):
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
Nyní se musíme podívat na hodnoty pravděpodobnosti od -1 do 1 v tabulce z. Hodnota od z = -1 do z = 1 je přibližně 0.6826.
Pravděpodobnost, že náhodně vybraný muž měří mezi 160 cm a 180 cm, je tedy přibližně 0.6826 neboli 68.26 %.
Příklad 4: Exponenciální rozdělení
Exponenciální rozdělení se používá k modelování času mezi událostmi v Poissonově procesu.
Otázka:
Průměrná doba mezi dvěma příchody zákazníků do obchodu je 15 minut. Jaká je pravděpodobnost, že doba mezi dvěma příchody zákazníků je kratší než 10 minut?
Diskuse:
Exponenciální rozdělení má parametr λ, který je inverzní hodnotou průměru (μ). S průměrem 15 minut:
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
Exponenciální kumulativní distribuční funkce je:
P(X ≤ x) = 1 – e^{-\lambdax}
Pro \(x = 10\):
P(X ≤ 10) = 1 – e⁻⁶ √(-0.0667 krát 10)
\[ P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X ≤ 10) \přibližně 1 – 0.5134 \]
\[ P(X ≤ 10) \přibližně 0.4866 \]
Pravděpodobnost, že doba mezi příchody dvou zákazníků je kratší než 10 minut, je tedy přibližně 0.4866 neboli 48.66 %.
Závěr
Pravděpodobnostní rozdělení, diskrétní i spojitá, jsou velmi užitečné koncepty pro modelování a pochopení chování náhodných proměnných. Binomické a Poissonovo rozdělení se často používají pro diskrétní proměnné, zatímco normální a exponenciální rozdělení jsou příklady spojitých rozdělení.
Doufáme, že jste díky výše uvedeným příkladům lépe pochopili, jak vypočítat a interpretovat pravděpodobnosti v rozděleních pravděpodobnosti. Důsledným procvičováním se vaše schopnost porozumět rozdělením pravděpodobnosti zlepší a bude možné ji uplatnit v různých oborech.
