Momentu angulare

Momentu angulare

A quantità di u muvimentu di rotazione, chì hè identica à a massa (m) in u muvimentu lineare, hè u mumentu d'inerzia (I). A quantità di u muvimentu di rotazione, chì hè identica à a velocità (v) in u muvimentu lineare, hè a velocità angulare (ω). Cusì, l'ughjettu in rotazione hà un mumentu angulare chì pò esse calculatu cù l'equazione:

L = I ω

L = mumentu angulare (kg m² ^/ s), I = mumentu d'inerzia (kg m² ⁾ , ω = velocità angulare (rad/s)

Esempi di prublemi di u mumentu angulare

Prublema di mostra 1.

Una particella cù una massa di 0.5 grammi si move in un cerchju cù una velocità angulare costante di 2 rad/s. Determinate u mumentu angulare di a particella se u raghju di a traiettoria di a particella hè 10 cm.

Vergogna à tè:

U mumentu d'inerzia di a particella:

I = mr² ⁼ (0.5 x ^{10⁻³ kg} )(1 x ^10⁻¹ m) ^² = (0.5 x ^10⁻³ kg)(1 x ^10⁻² m² ) = 0.5 x ^10⁻⁵ kg ^​​m²

A velocità angulare di a particella:

ω = 2 rad/s

U mumentu angulare di a particella:

L = (0.5 x ^10⁻⁵ kg m² ⁾ (2 rad/s) = 1 x ^10⁻⁵ kg m² ^/ s

A lege di cunservazione di u mumentu angulare

A lege di cunservazione di u mumentu angulare dice chì se u mumentu risultante di a forza nantu à un corpu rigidu quandu gira hè zeru, allora u mumentu angulare di u corpu rigidu quandu gira hè sempre custante. A lege di cunservazione di u mumentu angulare pò esse derivata matematicamente mudificendu l'equazione di a seconda lege di Newton nantu à u mumentu angulare. Eccu l'equazione di a seconda lege di Newton nantu à u mumentu angulare:

Sè u mumentu risultante di a forza hè zeru, allora l'equazione sopra cambia à:

I _t = u mumentu d'inerzia finale, I _o = u mumentu d'inerzia iniziale, ω _t = a velocità angulare finale, ω _o = a velocità angulare iniziale, L _t = u mumentu angulare finale, L _o = u mumentu angulare iniziale.

Esempi di prublemi di a lege di cunservazione di u mumentu angulare

Prublema di mostra 1.

Un discu cilindricu solidu omogeneu gira inizialmente nantu à u so asse cù una velocità di 4 rad/s. A massa è u raghju di u discu sò 1 kg è 0.5 m. Sè sopra à a piastra hè piazzatu un anellu chì hà una massa è un raghju di 0.2 kg è 0.1 m è u centru di l'anellu,

ghjustu sopra à u centru di u discu, tandu u discu è l'anellu giraranu inseme cù a velocità angulare di ...

Vergogna à tè:

Mumentu d'inerzia di un cilindru solidu: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Mumentu d'inerzia di l'anellu: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Momentu angulare iniziale (L1 ₎ = Momentu angulare finale ( _L2 )

I ₁ ω ₁ = I ₂ ω ₂

(0.125 kg m² ⁾ (4 rad/s) = (0.125 kg m² ⁺ 0.002 kg m² ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)( _ω² )

ω ₂ = 0.5 : 0.127

ω ₂ = 4 rad/s

Dumande è risposte cuncettuali

1. Chì ghjè u mumentu angulare?
   Avanti: U mumentu angulare hè una misura di a quantità di rotazione chì un ughjettu hà, tenendu contu di a so massa è di a so forma. Hè l'analogu rotazionale di u mumentu lineare.
2. Cumu si determina matematicamente u mumentu angulare?
   Avanti: U mumentu angulare (L) hè definitu cum'è $L=r\times p$, induve $r$ hè u vettore di pusizione da l'asse di rotazione à u puntu d'applicazione, è $p$ hè u mumentu lineare.
3. U mumentu angulare hè una quantità scalare o vettoriale?
   Avanti: U mumentu angulare hè una quantità vettoriale.
4. Chì ghjè l'unità di u mumentu angulare in u sistema SI ?
   Avanti: L'unità di mumentu angulare in u sistema SI hè u chilometru-metru quadratu per seconda (kg·m²/ s).
5. Cumu si cunserva u mumentu angulare?
   Avanti: In un sistema chjusu senza momenti torcenti esterni, u mumentu angulare tutale ferma custante.
6. Chì ghjè u principiu di cunservazione di u momentu angulare ?
   Avanti: U principiu dice chì u mumentu angulare tutale di un sistema chjusu ferma custante, salvu chì ùn sia sottumessu à una coppia esterna.
7. Cumu si riferisce a rotazione di un pattinatore artisticu à u mumentu angulare?
   Avanti: Quandu un pattinatore artisticu avvicina e so braccia è e so gambe à u so corpu durante una piruetta, diminuisce u so mumentu d'inerzia, facendulu girà più velocemente. Questu dimostra a cunservazione di u mumentu angulare.
8. Chì ghjè a relazione trà a coppia è u mumentu angulare?
   Avanti: Coppia ($\tau$) hè a velocità di cambiamentu di u mumentu angulare. Matematicamente, τ=dL/sec​.
9. Hè pussibule per un ughjettu avè un mumentu angulare senza velocità angulare?
   Avanti: Innò, s'è un ughjettu hà un mumentu angulare, hà una velocità angulare. A magnitudine è a direzzione di u mumentu angulare dipendenu sia da u mumentu d'inerzia sia da a velocità angulare.
10. Cumu u mumentu d'inerzia affetta u mumentu angulare?
    Avanti: U mumentu angulare (L) hè u pruduttu di u mumentu d'inerzia (I) è di a velocità angulare (ω). US $L=I\omega$, un aumentu di u mumentu d'inerzia per una data velocità angulare aumenterà u mumentu angulare.
11. Chì ghjè a differenza trà u spin è u mumentu angulare orbitale in a meccanica quantica?
    Avanti: U mumentu angulare di spin hè una pruprietà intrinseca di e particelle, cum'è l'elettroni, è ùn nasce micca da u muvimentu in u spaziu. U mumentu angulare orbitale, invece, nasce da u muvimentu di una particella intornu à un puntu cintrale.
12. Chì rolu ghjoca u mumentu angulare in a furmazione di i sistemi planetari ?
    Avanti: Quandu una nuvola moleculare si collassa per furmà stelle è pianeti, a cunservazione di u mumentu angulare face chì u materiale si appiattisca in un discu intornu à a stella appena nata, da u quale si ponu furmà pianeti.
13. Cumu un giroscopiu mantene a so orientazione in u spaziu ?
    Avanti: Un giroscopiu chì gira hà un mumentu angulare. Quandu una coppia esterna prova à cambià a so orientazione, u giroscopiu face una precessione, o cambia u so asse di rotazione, in una direzzione perpendiculare à a coppia applicata per via di a cunservazione di u mumentu angulare.
14. Chì causa a precessione in una trottola?
    Avanti: A precessione in una trottola hè causata da a coppia dovuta à a gravità chì agisce nantu à u centru di massa di a trottola, chì hè sfalsatu da u so puntu di pivotu. Questa coppia provoca un cambiamentu in a direzzione di u mumentu angulare di a trottola, pruvucendu a so precessione.
15. Perchè e stelle si appiattiscenu à i so poli ?
    Avanti: Mentre e stelle giranu, sperimentanu una forza centrifuga chì spinge a materia versu l'esternu. Questu effettu hè più forte à l'equatore chè à i poli, ciò chì porta à una forma oblata, o appiattita.
16. Cumu hè ligatu u mumentu angulare à a seconda lege di Kepler?
    Avanti: A seconda lege di Kepler dice chì un segmentu di linea chì unisce un pianeta è u Sole spazza aree uguali durante intervalli di tempu uguali. Questa hè una cunsequenza di a cunservazione di u mumentu angulare.
17. Perchè un gattu atterra sempre nantu à i so pedi quandu cade ?
    Avanti: I misgi utilizanu a cunservazione di u mumentu angulare. Turgendu i so corpi è cambiendu i so mumenti d'inerzia à meza aria, ponu riorientassi per atterrà nantu à i so pedi senza viulà e lege di cunservazione.
18. Cumu hè ligatu u mumentu magneticu à u mumentu angulare in l'elettroni?
    Avanti: U mumentu magneticu di un elettrone nasce da u so spin è da u so mumentu angulare orbitale. U mumentu magneticu hè proporzionale à u mumentu angulare di l'elettrone.
19. Chì ghjè u mumentu angulare in termini di coordinate polari?
    Avanti: In coordinate polari, u mumentu angulare $L$ per una massa puntuale pò esse espressa cum'è $L=mrv$, induve $m$ hè a massa, $r$ hè a distanza radiale, è $v$ hè a velocità tangenziale.
20. Chì succede à u mumentu angulare di un sistema chjusu quandu dui oggetti si scontranu?
    Avanti: In un sistema chjusu induve dui oggetti si scontranu, u mumentu angulare tutale prima di a collisione hè uguale à u mumentu angulare tutale dopu a collisione, supponendu chì ùn ci sia nisuna coppia esterna chì agisca nantu à u sistema.

Prublemi è Soluzioni

1. Prublema: Una massa puntuale m = 2 kg si move cù una velocità v = 3 m/s in un cerchju di raghju r = 4 m. Calcula u so mumentu angulare intornu à u centru di u cerchju.

Soluzione: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 kg.m² ^/ s

2. Prublema: Una sfera solida di massa 3 kg è raghju 0.5 m gira intornu à u so diametru cù una velocità angulare ω = 2 rad/s. Chì ghjè u so mumentu angulare ?

Soluzione: Per una sfera solida, I = 2/5 ​m r ²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. Prublema: Una massa puntuale di 3 kg si move cù una velocità di 4 m/s in linea retta. Chì ghjè u so mumentu angulare intornu à un puntu à 5 m di distanza da a so linea di muvimentu ?

Vergogna à tè:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg.m² ^/ s

4. Prublema: Un discu di massa 5 kg è raghju 3 m gira cù una velocità angulare di 2 rad/s. Calcula u so mumentu angulare.

Soluzione: Per un discu, I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. Prublema: Una verga di lunghezza 4 m è massa 2 kg gira intornu à una estremità cù una velocità angulare di 3 rad/s. Truvate u so mumentu angulare.

Soluzione: Per una canna intornu à una estremità, I = 1/3 m l ²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. Prublema: Chì ghjè u cambiamentu di u mumentu angulare s'è un corpu in rotazione raddoppia a so velocità angulare?

Soluzione: A relazione trà u mumentu angulare (L) è a velocità angulare (ω) hè $L=I\times \omega$ . Sè ω hè radduppiatu, ancu u mumentu angulare radduppierà.

7. Prublema: Sè u raghju di una traiettoria circulare di una particella in muvimentu si raddoppia mantenendu a velocità custante, per quale fattore cambia u mumentu angulare?

Soluzione: Momentu angulare, $L=m\times r\times v$ . Sè r si raddoppia, L si raddoppierà ancu ellu.

8. Prublema: Un zitellu di massa 30 kg hè in piedi à u bordu di una giostra chì hè in riposu. U raghju di a giostra hè di 2 m. Sè u zitellu principia à corre à una velocità di 2 m/s rispettu à a terra longu u bordu, truvate u mumentu angulare di u zitellu rispettu à u centru.

Soluzione: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 kg.m² ^/ s

9. Prublema: Un cilindru di massa 6 kg è raghju 2 m gira intornu à u so asse cintrali cù una velocità angulare di 5 rad/s. Calcula u so mumentu angulare.

Soluzione: Per un cilindru, I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$ =1/2×6×2 ² ×5=120 kg.m² ^/ s

10. Prublema: Chì serà u novu mumentu angulare di un corpu s'è u so mumentu d'inerzia hè dimezzatu è a so velocità angulare hè triplicata ?

Soluzione: Datu $L=I\times \omega$ , se $I$ hè dimezzatu è $\omega$ hè triplicatu, u novu $L$ serà 1/2 × 3 = 1.5 × l'uriginale.

11. Prublema: Un cerchju di massa 2 kg è raghju 1 m gira cù una velocità angulare di 4 rad/s. Calcula u so mumentu angulare.

Soluzione: Per un cerchiu, I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 kg.m² ^/ s

12. Prublema: Un ventilatore hà pale di lunghezza 0.5 m è massa tutale 1 kg. S'ellu gira cù una velocità angulare di 10 rad/s, determinate u so mumentu angulare.

Soluzione: Supponendu chì e pale di u ventilatore sò cum'è aste chì giranu intornu à una estremità, I = 1/3 m l ²

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.5 ² ×10=0.833 kg.m² ^/ s

13. Prublema: Calcula u mumentu angulare di a terra intornu à u so propiu asse per via di a so rotazione. Datu: Massa di a terra = 5.972 × 10²⁴ ^kg , Ragiu $r=6371\text{km}$ , ω = 7.27 × 1 ^/0−5 rad /s.

Soluzione: Supponendu chì a terra sia una sfera solida, I = 2/5 ​m r ²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Prublema: Un zitellu si move versu u centru di una piattaforma in rotazione. U mumentu angulare aumenta, diminuisce o ferma u listessu ?

Soluzione: U mumentu angulare hè cunservatu. Mentre u zitellu si move versu u centru, u mumentu d'inerzia diminuisce. Per cunservà u mumentu angulare, a velocità angulare aumenta. Cusì, u mumentu angulare ferma u listessu.

15. Prublema: Sè l'energia cinetica di un corpu in rotazione hè radduppiata, di quale fattore cambia u so mumentu angulare?

Soluzione: Energia cinetica K = 1/2 ​I ω ² è mumentu angulare $L=I\omega$ . Sè l'energia cinetica hè radduppiata è $I$ ferma custante, ω ² hè radduppiatu. Questu implica chì $\omega$ hè aumentatu di un fattore di √ 2 ​.$Cusì,\; L$ aumenta ancu di un fattore di √ 2 ​.

16. Prublema: Una rota di bicicletta di raghju 0.3 m hà un cerchione di massa 1.5 kg. S'ella gira cù una velocità angulare di 5 rad/s, truvate u so mumentu angulare.

Soluzione: Supponendu chì u cerchione sia un cerchiu, I = m r ²

$L=I\times \omega$ =1.5 × 0.32 × 5 = 6.75 kg.m² ^/ s

L = 1.5 × 0 , 3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s

17. Prublema: Una pattinatrice nantu à u ghjacciu tira e so braccia versu l'internu mentre gira. Chì succede à u so mumentu angulare ?

Soluzione: U mumentu angulare di a pattinatrice hè cunservatu. Stringhjendu e so braccia, diminuisce u so mumentu d'inerzia, è cusì gira più veloce (aumentu di a velocità angulare) per cunservà u so mumentu angulare.

18. Prublema: Un volante hà un mumentu d'inerzia di 0.2 kg.m² ^{kg.m² è} gira cù una velocità angulare di 10 rad/s. Truvate u so mumentu angulare$\text{.}$

Vergogna à tè:

$L=I\times \omega$ =0.2×10=2 kg.m² ^/ s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s​

19. Prublema: Un sistema hà una coppia esterna netta di zero chì agisce nantu à ellu. Chì pudete dì di u so mumentu angulare ?

Soluzione: Sè u mumentu esternu nettu hè zeru, tandu secondu a cunservazione di u mumentu angulare, u mumentu angulare tutale di u sistema ferma custante.

20. Prublema: Una massa puntuale m = 5 kg si move cù una velocità v = 3 m/s perpendiculare à a linea chì a unisce à un puntu P. Sè a distanza da u puntu P hè 4 m, truvate u so mumentu angulare intornu à u puntu P.

Vergogna à tè:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s