Cumu calculà a deviazione standard
A deviazione standard hè una di e misure statistiche più aduprate per determinà quantu i dati sò "sparsi" da a so media. In a vita reale, a deviazione standard ci aiuta à capisce a stabilità o a variazione di un fenomenu: per esempiu, variazioni in i punteggi di i testi, fluttuazioni di e vendite, differenze in altezza, è ancu i risichi in i dati finanziarii. Più chjuca hè a deviazione standard, più i dati sò vicini à a media. À u cuntrariu, una grande deviazione standard indica chì i dati sò luntani da a media è anu una alta variazione.
Questu articulu discuterà u significatu di a deviazione standard, a formula aduprata è i passi per calculalla manualmente per mezu di esempi faciuli da capisce.
1. Definizione di Deviazione Standard
A deviazione standard hè a radica quadrata di a varianza. A varianza stessa hè a media di i quadrati di e differenze trà ogni puntu di dati è a media. Perchè aduprà un quadratu? Perchè e differenze trà i punti di dati è a media ponu esse negative o positive. Se aghjunghjenu direttamente, e differenze negative è positive ponu annullà si l'una l'altra, risultendu in risultati ingannevuli. Elevendu à u quadratu e differenze, tutti i valori diventanu pusitivi, permettendu una misurazione più precisa di a distribuzione di i dati.
Semplicemente:
– Varianza = misura di a dispersione in unità "quadrate".
– Deviazione standard = una misura di a dispersione chì hè vultata à l'unità uriginale di dati.
Esempiu: se i dati sò in forma di punteggi di test (unità di punti), a varianza serà in punti, mentre chì a deviazione standard serà torna in punti, rendendu più faciule l'interpretazione.
2. Deviazione Standard di a Pupulazione vs. di u Campione
Prima di calculà, hè impurtante sapè chì tipu di dati avete:
1. Pupulazione: i dati includenu tutti i membri chì devenu esse studiati.
A formula di deviazione standard di a pupulazione usa u divisore N (numeru di dati).
2. Campione: i dati sò solu una parte di a pupulazione, generalmente aduprati per rapprisintà una pupulazione più grande.
A formula di deviazione standard di u campione usa un divisore (n − 1) per curregge u pregiudiziu di stima. Sta currezzione hè chjamata currezzione di Bessel.
In a pratica di tutti i ghjorni (per esempiu, ricerca, sondaggi, analisi di classe), i dati sò spessu cunsiderati un campione, dunque u divisore hè (n − 1).
3. Formula di deviazione standard
A. Formula di deviazione standard di a pupulazione
Supponemu i dati: \(x_1, x_2, \dots, x_N \)
Media di a pupulazione:
\[
\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
Varianza di a pupulazione:
\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – \mu)^2}{N}
\]
Deviazione standard di a pupulazione:
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]
B. Formula di deviazione standard di mostra
Media di u campione:
\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
Varianza di u campione:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
Deviazione standard di u campione:
\[
s = \sqrt{s^2}
\]
4. Passi per calculà manualmente a deviazione standard
Per fà più faciule a capiscitura, usemu l'esempiu di i dati di i punteggi d'esame di 5 studienti:
Dati: 60, 70, 70, 80, 90
Supponemu chì sti dati sianu un campione (cumune in esempi di apprendimentu).
Passu 1: Calcula a media
\[
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]
Cusì u puntuatu mediu hè 74.
Passu 2: Calcula a differenza trà ogni dati è a media
Crea una colonna di differenza \( (x_i – \bar{x}) \):
– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16
Passu 3: Elevate a differenza à u quadratu
Calculà \((x_i – \bar{x})^2 \):
– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256
Passu 4: Aghjunghjite i quadrati di e differenze
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]
Passu 5: Calcula a varianza (per un campione, dividi per n − 1)
Siccomu n = 5, tandu n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]
Cusì a varianza campionaria hè 130.
Passu 6: Radice quadrata di a varianza per ottene a deviazione standard
\[
s = \sqrt{130} \circa 11{,}40
\]
Cusì a deviazione standard di i dati hè circa 11,40. Questu significa chì, in media, i punteggi di i studienti si discostanu di circa 11 punti da a media di 74.
5. Via Rapida: Formula Alternativa (Calculu)
Oltre à u metudu manuale sopra, ci hè una formula di calculu chì hè spessu aduprata per accelerà i calculi, soprattuttu s'ellu ci sò assai dati:
Varianza di u campione:
\[
s^2 = \frac{\sum x_i^2 – \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]
Sta formula evita di calculà e differenze una per una, ma richiede sempre precisione quandu si calcula a somma di i quadrati di i dati.
Tuttavia, per a capiscitura cuncettuale, u metudu passu à passu (differenza → quadratu → somma) hè generalmente più faciule è più sicuru da l'errori.
6. Interpretazione di a deviazione standard
A deviazione standard ùn si ferma micca solu à i numeri, ma deve esse interpretata:
– Piccula deviazione standard: i dati sò raggruppati vicinu à a media, a variazione hè bassa, i risultati sò più coerenti.
– Grande deviazione standard: i dati sò spargugliati luntanu da a media, a variazione hè alta, i risultati sò menu coerenti.
Per esempiu, supponemu chì duie classi anu u listessu puntuatu mediu, 74. Sè a classe A hà una deviazione standard di 5 è a classe B una deviazione standard di 15, allora i punteggi in a classe A sò più uniformi è stabili. A classe B hà una variazione più grande: alcuni sò assai bassi è altri sò assai alti.
7. Errori cumuni
Alcuni errori cumuni quandu si calcula a deviazione standard:
1. Aghju scurdatu di fà a differenza trà campione è pupulazione, dunque u divisore hè sbagliatu (N vs n − 1).
2. Calculà male a media, ciò chì face chì tutti i passi successivi sianu sbagliati.
3. Scurdà si di elevà à u quadratu a differenza, o fà un sbagliu quandu si piglia a radica quadrata à a fine.
4. Errori aritmetici quandu si aghjunghjenu o si calculanu i quadrati di numeri.
A prevenzione di l'errori pò esse fatta creendu una tavula di calculu è verificendu duie volte i risultati.
Penutup
Calculà a deviazione standard ùn hè micca difficiule sè seguite currettamente i passi: calculà a media, truvà a differenza trà ogni inseme di dati, elevà à u quadratu e differenze, aghjunghjele inseme, dividite (per n o n − 1), è dopu pigliate a radica quadrata. Capendu a deviazione standard, pudete valutà quantu sò coerenti i vostri dati è quanta variazione ci hè.
Sè vulete, possu ancu creà esempi supplementari cù più dati, esempi di dati raggruppati (tabelle di frequenza), o cumu calculà a deviazione standard aduprendu Excel/Google Sheets.
