Ehemplo sa Pangutana sa Panaghisgot sa Sistema sa Linear Equations
Ang Systems of Linear Equations (SLE) usa ka sukaranang konsepto nga kanunay gitudlo sa matematika sa sekondarya ug tersyarya nga lebel. Ang pagka-master sa SLE hinungdanon tungod sa kaylap nga aplikasyon niini sa lainlaing mga natad, gikan sa pisika ug ekonomiya hangtod sa inhenyeriya. Niini nga artikulo, atong hisgutan ang pipila ka mga pananglitan sa mga sistema sa linear equation ug ang ilang mga solusyon. Atong gamiton ang mga pamaagi sa substitution, elimination, ug matrix aron mapadali ang pagsabot.
Mga Sampol nga Pangutana ug Panaghisgot
Pananglitan nga Pangutana 1: Pamaagi sa Pagpuli
Pangutana:
Sulbara ang mosunod nga sistema sa mga ekwasyon gamit ang pamaagi sa pagpuli:
1. \(2x + 3y = 8\)
2. \(x – 2y = -3\)
Solusyon:
1. Ang unang lakang mao ang pagsulbad sa usa sa mga equation para sa usa sa mga variable. Pananglitan, mahimo natong sulbaron ang ikaduhang equation para sa \(x\):
\[ x – 2y = -3 \]
\[ x = 2y – 3 \]
2. Ipuli ang \(x = 2y – 3\) sa unang ekwasyon:
\[ 2(2y – 3) + 3y = 8 \]
\[ 4y – 6 + 3y = 8 \]
\[ 7y – 6 = 8 \]
\[ 7y = 14 \]
\[ y = 2 \]
3. Karon, ilisi ang \(y = 2\) sa ekwasyon \(x = 2y – 3\):
\[ x = 2(2) – 3 \]
\[ x = 4 – 3 \]
\[ x = 1 \]
Busa, ang solusyon sa sistema sa mga ekwasyon mao ang \( x = 1 \) ug \( y = 2 \).
Pananglitan nga Pangutana 2: Pamaagi sa Pagwagtang
Pangutana:
Sulbara ang mosunod nga sistema sa mga ekwasyon gamit ang pamaagi sa eliminasyon:
1. \(3x + 2y = 12\)
2. \(5x – y = 9\)
Solusyon:
1. Ang unang lakang mao ang paghimo sa koepisyente sa usa sa mga baryabol nga parehas sa duha ka ekwasyon. Mahimo natong padaghanon ang ikaduhang ekwasyon sa 2 aron mahimo ang koepisyente sa \(y\) nga parehas:
\[ 2(5x – y) = 2(9) \]
\[ 10x – 2y = 18 \]
2. Idugang ang duha ka equation aron matangtang ang \(y\):
\[ 3x + 2y + 10x – 2y = 12 + 18 \]
\[ 13x = 30 \]
\[ x = \frac{30}{13} \]
3. Ipuli ang \( x = \frac{30}{13} \) sa unang ekwasyon:
\[ 3\left(\frac{30}{13}\right) + 2y = 12 \]
\[ \frac{90}{13} + 2y = 12 \]
\[ 2y = 12 – \frac{90}{13} \]
\[ 2y = \frac{156}{13} – \frac{90}{13} \]
\[ 2y = \frac{66}{13} \]
\[ y = \frac{33}{13} \]
Busa, ang mga solusyon sa sistema sa mga ekwasyon mao ang \( x = \frac{30}{13} \) ug \( y = \frac{33}{13} \).
Pananglitan nga Pangutana 3: Pamaagi sa Matrix (Gaussian Elimination)
Pangutana:
Sulbara ang mosunod nga sistema sa mga ekwasyon gamit ang pamaagi sa matrix:
1. \(x + y + z = 6\)
2. \(2x – y + 3z = 14\)
3. \(4x + 2y – z = 2\)
Solusyon:
1. Gipadako nga porma sa matrix sa sistema sa mga ekwasyon:
\[ \begin{pmatrix}
1 ug 1 ug 1 ug | ug 6 \\
2 ug -1 ug 3 ug | ug 14 \\
4 ug 2 ug -1 ug | ug 2
\end{pmatrix} \]
2. Proseso sa eliminasyon sa Gaussian:
– Usba ang ikaduhang laray ngadto sa resulta sa ikaduhang laray nga kuhaan og doble sa unang laray:
\[ \begin{pmatrix}
1 ug 1 ug 1 ug | ug 6 \\
0 ug -3 ug 1 ug | ug 2 \\
4 ug 2 ug -1 ug | ug 2
\end{pmatrix} \]
– Usba ang ikatulong laray ngadto sa resulta sa ikatulong laray nga gikunhoran og upat ka pilo sa unang laray:
\[ \begin{pmatrix}
1 ug 1 ug 1 ug | ug 6 \\
0 ug -3 ug 1 ug | ug 2 \\
0 ug -2 ug -5 ug | ug -22
\end{pmatrix} \]
– Usba ang ikatulong laray ngadto sa resulta sa ikatulong laray dugang duha ka tersyo sa ikaduhang laray:
\[ \begin{pmatrix}
1 ug 1 ug 1 ug | ug 6 \\
0 ug -3 ug 1 ug | ug 2 \\
0 ug 0 ug -4 ug | ug -20
\end{pmatrix} \]
– Usba ang ikatulong laray ngadto sa resulta sa ikatulong laray nga gibahin sa -4:
\[ \begin{pmatrix}
1 ug 1 ug 1 ug | ug 6 \\
0 ug -3 ug 1 ug | ug 2 \\
0 ug 0 ug 1 ug | ug 5
\end{pmatrix} \]
– I-convert ang ikaduhang laray ngadto sa resulta sa ikaduhang laray ug sa ikatulong laray:
\[ \begin{pmatrix}
1 ug 1 ug 1 ug | ug 6 \\
0 ug -3 ug 0 ug | ug -3 \\
0 ug 0 ug 1 ug | ug 5
\end{pmatrix} \]
– Usba ang ikaduhang laray ngadto sa resulta sa ikaduhang laray nga gibahin sa -3:
\[ \begin{pmatrix}
1 ug 1 ug 1 ug | ug 6 \\
0 ug 1 ug 0 ug | ug 1 \\
0 ug 0 ug 1 ug | ug 5
\end{pmatrix} \]
– Usba ang unang laray ngadto sa resulta sa unang laray kuhaan sa ikaduhang laray ug sa ikatulong laray:
\[ \begin{pmatrix}
1 ug 0 ug 0 ug | ug 0 \\
0 ug 1 ug 0 ug | ug 1 \\
0 ug 0 ug 1 ug | ug 5
\end{pmatrix} \]
Busa, ang mga solusyon sa sistema sa mga ekwasyon mao ang \( x = 0 \), \( y = 1 \), ug \( z = 5 \).
Konklusyon
Ang pagsabot sa mga pamaagi sa pagsulbad sa mga sistema sa linear equation importante kaayo aron ma-master ang matematika. Ang mga pamaagi sa substitution, elimination, ug matrix nagtanyag og lain-laing mga pamaagi sa pagpangita sa saktong solusyon. Uban sa makanunayong praktis ug lig-on nga pagsabot sa mga konsepto, bisan kinsa mahimong ma-master kini nga mga teknik ug magamit kini sa lain-laing mga konteksto. Hinaut nga ang mga pananglitan nga gihisgutan niini nga artikulo makatabang sa mga magbabasa nga mas masabtan ug ma-master ang mga sistema sa linear equation.
