Ehemplo sa Pangutana sa Panaghisgot bahin sa Ekwasyon sa usa ka Lingin
Ang ekwasyon sa usa ka lingin usa ka importante nga hilisgutan sa analytical geometry. Ang maayong pagsabot sa ekwasyon sa usa ka lingin mapuslanon kaayo, dili lamang sa matematika apan lakip usab sa lainlaing mga aplikasyon sa inhenyeriya ug siyensya. Niini nga artikulo, atong hisgutan ang pipila ka mga pananglitan sa mga ekwasyon sa usa ka lingin ug ang ilang mga solusyon. Ang tumong mao ang paghatag usa ka tin-aw ug komprehensibo nga kinatibuk-ang panglantaw kung giunsa pagsulbad ang mga problema nga naglambigit sa mga ekwasyon sa usa ka lingin.
Kinatibuk-ang Ekwasyon sa usa ka Lingin
Ang labing komon nga ekwasyon sa usa ka lingin sa mga coordinate sa Cartesian mao ang:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Asa:
– Ang \( (a, b) \) mao ang mga koordinato sa sentro sa lingin.
– Ang \( r \) mao ang radius sa lingin.
Kon ang sentro sa lingin anaa sa punto \( (0, 0) \), ang ekwasyon sa lingin mahimong:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Karon, atong hisgutan ang pipila ka mga ehemplo sa mga problema ug ang ilang mga solusyon.
Pananglitan nga Pangutana 1
Pangutana: Tinoa ang ekwasyon sa usa ka lingin kansang sentro naa sa punto (3, -2) ug adunay radius nga 5.
Solusyon:
Gamita ang kinatibuk-ang pormula para sa ekwasyon sa usa ka lingin:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Ilisi ang mga kantidad \( a = 3 \), \( b = -2 \), ug \( r = 5 \):
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Busa, ang ekwasyon sa lingin mao ang:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Pananglitan nga Pangutana 2
Pangutana: Tinoa ang ekwasyon sa usa ka lingin kansang sentro anaa sa sinugdanan (0, 0) ug adunay radius nga 7.
Solusyon:
Tungod kay ang sentro sa lingin anaa sa sinugdanan, magamit nato ang yano nga equation:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Ilisi ang bili \( r = 7 \):
\[ x^2 + y^2 = 7^2 \]
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
Busa, ang ekwasyon sa lingin mao ang:
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
Pananglitan nga Pangutana 3
Pangutana: Tinoa ang ekwasyon sa usa ka lingin kansang sentro anaa sa punto (4, -5) ug mohikap sa Y axis.
Solusyon:
Ang lingin nga nagsandig sa Y-axis nagpasabot nga ang distansya gikan sa sentro sa lingin ngadto sa Y-axis katumbas sa radius niini. Kini nga distansya mao ang hingpit nga bili sa X-coordinate sa sentro sa lingin. Busa, ang radius kay 4.
Gamita ang kinatibuk-ang pormula para sa ekwasyon sa usa ka lingin:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Ilisi ang mga kantidad \( a = 4 \), \( b = -5 \), ug \( r = 4 \):
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Busa, ang ekwasyon sa lingin mao ang:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Pananglitan nga Pangutana 4
Pangutana: Ang usa ka lingin adunay ekwasyon nga \( x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \). Tinoa ang sentro ug radius sa lingin.
Solusyon:
Aron masulbad kini nga equation, kinahanglan nato kining i-convert ngadto sa standard form \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \). Ang mga lakang aron makompleto kini mao ang mosunod:
1. Paggrupo ug pagsulbad sa perpektong mga kwadro:
Ang inisyal nga ekwasyon mao ang:
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \]
Grupo \( x \) ug \( y \):
\[ (x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) = 12 \]
2. Sulbara ang hingpit nga kwadro:
Para sa \( x^2 – 6x \):
\[ x^2 – 6x + 9 \]
Para sa \( y^2 + 4y \):
\[ y^2 + 4y + 4 \]
Idugang ang 9 ug 4 sa duha ka kilid sa ekwasyon:
\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Busa, ang ekwasyon sa usa ka lingin sa standard nga porma mao ang:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Gikan dinhi, atong makita nga ang sentro sa lingin kay \( (3, -2) \) ug ang radius kay \( r = \sqrt{25} = 5 \).
Pananglitan nga Pangutana 5
Pangutana: Tinoa ang ekwasyon sa lingin nga moagi sa mga punto (2, 3) ug (4, 5), ug kansang sentro anaa sa linya nga x = 3.
Solusyon:
Gikan sa pangutana, nahibal-an nato nga ang sentro sa lingin mao ang (3, b). Ang lingin moagi usab sa duha ka nailhan nga punto. Tungod kay ang lingin moagi sa (2, 3), ang gilay-on gikan sa sentro hangtod niining puntoha mao ang radius.
Ang ekwasyon sa usa ka lingin mao ang:
\[ (x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Punto sa pag-ilis (2, 3):
\[ (2 – 3)^2 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ (3 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Punto sa pag-ilis (4, 5):
\[ (4 – 3)^2 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ (5 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Gikan sa duha ka ekwasyon, atong nahibal-an nga (3 – b)^2 = (5 – b)^2. Busa:
\[ 3 – b = \pm(5 – b) \]
Kon \( 3 – b = 5 – b \), ang resulta dili mahimong tinuod. Busa:
\[ 3 – b = -(5 – b) \]
\[ b = 4 \]
Uban sa b = 4, ang ekwasyon sa lingin mao ang:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Apan, atong makalkulo ang radius r gikan sa distansya tali sa sentro ug sa punto (2, 3) = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\)
Ang ekwasyon sa lingin mao ang:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Konklusyon
Ang pagsabot sa ekwasyon sa usa ka lingin makapasayon sa pagsulbad sa daghang mga problema sa matematika. Sa matag kaso, ang pag-ila sa sentro ug radius importante kaayo. Hinaut nga kining mga ehemplo sa mga problema ug ang ilang mga pagpasabut makahatag og katin-awan ug makatabang kanimo nga makat-on sa ekwasyon sa usa ka lingin. Ang pagpraktis makapahimo sa matematika nga perpekto, busa ayaw pagpanuko sa pagsulay sa lainlaing mga problema aron mapauswag ang imong kahanas.
