Mga Pananglitan nga Pangutana ug Panaghisgot sa Paggamit sa mga Integral sa Pagkalkulo sa Area sa usa ka Patag nga Plano
Sa pagtudlo sa matematika, ang mga integral kanunay nga makita sa calculus. Usa sa labing nailhan nga aplikasyon sa mga integral mao ang pagkalkulo sa area ubos sa usa ka kurba o eroplano. Kini nga artikulo maghisgot sa pipila ka mga pananglitan sa mga problema ug maghisgot sa aplikasyon sa mga integral sa pagkalkulo sa area sa usa ka eroplano.
Pasiuna sa Teorya
Sa dili pa mopadayon sa ehemplo sa problema, atong ribyuhon ang batakang konsepto sa pagkalkulo sa area ubos sa kurba gamit ang integrals. Kon kita adunay function nga f(x) nga padayon sa interval [a, b], nan ang area ubos sa kurba nga y = f(x) gikan sa x = a hangtod sa x = b mao ang:
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Sa heometriko, kini nagpasabot nga atong gisuma ang gilapdon sa usa ka nipis kaayo nga rektanggulo gikan sa x = a hangtod sa x = b.
Pananglitan nga Pangutana 1
Pangutana
Kwentaha ang gilapdon ubos sa kurba nga y = x² sa interval [1, 3].
Panaghisgot
Aron makalkulo ang area, gigamit nato ang integral:
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Magsugod kita pinaagi sa pagpangita sa antiderivative sa \( x^2 \). Ang antiderivative sa \( x^2 \) kay \( \frac{x^3}{3} \). Dayon ang integral mahimong:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
Hinumdumi nga kinahanglan natong susihon ang antiderivative sa mga limitasyon sa integral:
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \left( \frac{27}{3} \right) – \left( \frac{1}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
Busa, ang gilapdon ubos sa kurba nga y = x² gikan sa x = 1 ngadto sa x = 3 mao ang:
\[ \frac{26}{3} \, \text{yunit sa lugar} \]
Pananglitan nga Pangutana 2
Pangutana
Tinoa ang gilapdon sa rehiyon nga gilibutan sa kurba nga y = x³ ug sa mga linya nga x = 1 ug x = 2.
Panaghisgot
Aron makalkulo ang area, gigamit nato ang integral:
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Sama sa naandan, magsugod kita pinaagi sa pagpangita sa antiderivative sa \( x^3 \). Ang antiderivative sa \( x^3 \) kay \( \frac{x^4}{4} \). Ang integral mahimong:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
Susiha ang mga limitasyon sa integral:
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \left( \frac{16}{4} \right) – \left( \frac{1}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
Busa, ang gilapdon ubos sa kurba nga y = x³ gikan sa x = 1 ngadto sa x = 2 mao ang:
\[ \frac{15}{4} \, \text{yunit sa lugar} \]
Pananglitan nga Pangutana 3
Pangutana
Tinoa ang gilapdon sa rehiyon nga gilibutan sa mga kurba nga y = x² + 1 ug y = 2x + 2 sa interval nga x = 0 hangtod x = 1.
Panaghisgot
Una, kinahanglan natong pangitaon ang mga intersection point aron mahibal-an ang mga limitasyon sa integrasyon. Ang solusyon sa \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Gamit ang pormula sa kwadrado:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Apan, para sa ibabaw ug ubos nga mga limitasyon tali sa 0 ug 1, dili nato kinahanglan gamiton ang quadratic solution, ang ordinaryong integral limit lang gikan sa 0 ngadto sa 1. Sunod, kwentaha ang area sa ibabaw nga y curve minus ang ubos nga y curve sumala niining mga limitasyon:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Pagpasimple sa gimbuhaton:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Sunod, atong makit-an ang antiderivative:
Ang antiderivative sa \( (-x^2) \) kay \( -\frac{x^3}{3} \),
Ang antiderivative sa \( (2x) \) kay \( x^2 \),
Ang antiderivative sa \( (1) \) kay \( x \).
Mao nga,
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Sunod nga ebalwasyon:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
Busa, ang gilapdon sa rehiyon nga gilibutan sa mga kurba nga y = x² + 1 ug y = 2x + 2 sa interval [0, 1] mao ang:
\[ \frac{5}{3} \, \text{yunit sa lugar} \]
-
Gikan sa mga pananglitan sa ibabaw, atong makita kon giunsa paggamit ang mga integral aron makalkulo ang gilapdon ubos sa usa ka kurba o taliwala sa duha ka kurba. Uban sa hustong pagsabot sa mga batakang konsepto sa mga integral ug mga teknik sa antiderivative, ang pagkalkulo niini nga mga gilapdon mahimong sistematiko ug episyente. Hinaut nga kini nga artikulo nakapauswag sa atong pagsabot sa paggamit sa mga integral sa tinuod nga kalibutan, ilabi na sa natad sa pagsukod sa gilapdon sa mga patag nga nawong.
