Com calcular la desviació estàndard
La desviació estàndard és una de les mesures estadístiques més utilitzades per determinar com de "dispersades" estan les dades respecte a la seva mitjana. A la vida real, la desviació estàndard ens ajuda a entendre l'estabilitat o la variació d'un fenomen: per exemple, les variacions en les puntuacions dels exàmens, les fluctuacions de les vendes, les diferències d'alçada i fins i tot els riscos de les dades financeres. Com més petita sigui la desviació estàndard, més a prop estaran les dades de la mitjana. Per contra, una desviació estàndard gran indica que les dades estan lluny de la mitjana i tenen una variació elevada.
Aquest article tractarà el significat de la desviació estàndard, la fórmula utilitzada i els passos per calcular-la manualment mitjançant exemples fàcils d'entendre.
1. Definició de desviació estàndard
La desviació estàndard és l'arrel quadrada de la variància. La variància en si mateixa és la mitjana dels quadrats de les diferències entre cada punt de dades i la mitjana. Per què utilitzar un quadrat? Perquè les diferències entre els punts de dades i la mitjana poden ser negatives o positives. Si se sumen directament, les diferències negatives i positives es poden cancel·lar entre si, donant lloc a resultats enganyosos. En elevar al quadrat les diferències, tots els valors esdevenen positius, cosa que permet una mesura més precisa de la distribució de les dades.
Simplement:
– Variància = mesura de la dispersió en unitats “al quadrat”.
– Desviació estàndard = una mesura de la dispersió que ha tornat a les unitats originals de dades.
Exemple: si les dades són en forma de puntuacions de proves (unitats de punts), la variància serà en punts, mentre que la desviació estàndard serà de nou en punts, cosa que facilitarà la interpretació.
2. Desviació estàndard de la població vs. mostra
Abans de calcular, és important saber quin tipus de dades teniu:
1. Població: les dades inclouen tots els membres que s'han d'investigar.
La fórmula de la desviació estàndard de la població utilitza el divisor N (nombre de dades).
2. Mostra: les dades són només una part de la població, normalment utilitzades per representar una població més gran.
La fórmula de la desviació estàndard de la mostra utilitza un divisor (n − 1) per corregir el biaix d'estimació. Aquesta correcció s'anomena correcció de Bessel.
En la pràctica quotidiana (per exemple, recerca, enquestes, anàlisi de classe), les dades sovint es consideren una mostra, de manera que el divisor és (n − 1).
3. Fórmula de la desviació estàndard
A. Fórmula de la desviació estàndard de la població
Suposem les dades: \(x_1, x_2, \dots, x_N \)
Mitjana de la població:
\[
\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
Variància de la població:
\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – \mu)^2}{N}
\]
Desviació estàndard de la població:
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]
B. Fórmula de desviació estàndard d'exemple
Mitjana de la mostra:
\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
Variància de la mostra:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
Desviació estàndard de la mostra:
\[
s = \sqrt{s^2}
\]
4. Passos per calcular la desviació estàndard manualment
Per facilitar-ne la comprensió, fem servir l'exemple de les dades de les puntuacions dels exàmens de 5 estudiants:
Dades: 60, 70, 70, 80, 90
Suposem que aquestes dades són una mostra (comú en exemples d'aprenentatge).
Pas 1: Calcula la mitjana
\[
x = 60 + 70 + 70 + 80 + 90/5 = 370/5 = 74
\]
Per tant, la puntuació mitjana és de 74.
Pas 2: Calcula la diferència entre cada dada i la mitjana
Crea una columna de diferència \( (x_i – \bar{x}) \):
– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16
Pas 3: Eleva al quadrat la diferència
Calcula (x_i – x)²
– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256
Pas 4: Suma els quadrats de les diferències
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]
Pas 5: Calcula la variància (per a una mostra, divideix per n − 1)
Com que n = 5, aleshores n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]
Per tant, la variància mostral és 130.
Pas 6: Arrel quadrada de la variància per obtenir la desviació estàndard
\[
s = 130 \approx 11,40
\]
Així doncs, la desviació estàndard de les dades és aproximadament d'11,40. Això significa que, de mitjana, les puntuacions dels estudiants es desvien aproximadament 11 punts de la mitjana de 74.
5. Mètode ràpid: Fórmula alternativa (càlcul)
A part del mètode manual anterior, hi ha una fórmula computacional que s'utilitza sovint per accelerar els càlculs, sobretot si hi ha moltes dades:
Variància de la mostra:
\[
s^2 = \frac{\sum x_i^2 – \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]
Aquesta fórmula evita calcular les diferències una per una, però encara requereix precisió a l'hora de calcular la suma dels quadrats de les dades.
Tanmateix, per a la comprensió conceptual, el mètode pas a pas (diferència → quadrat → suma) sol ser més fàcil i segur d'errors.
6. Interpretació de la desviació estàndard
La desviació estàndard no només s'atura en els números, sinó que s'ha d'interpretar:
– Desviació estàndard petita: les dades s'agrupen prop de la mitjana, la variació és baixa i els resultats són més consistents.
– Desviació estàndard gran: les dades estan molt disperses de la mitjana, la variació és alta i els resultats són menys consistents.
Per exemple, suposem que dues classes tenen la mateixa puntuació mitjana, 74. Si la classe A té una desviació estàndard de 5 i la classe B una desviació estàndard de 15, les puntuacions de la classe A són més uniformes i estables. La classe B té una variació més gran: algunes són molt baixes i d'altres són molt altes.
7. Errors comuns
Alguns errors comuns en el càlcul de la desviació estàndard:
1. He oblidat de diferenciar entre mostra i població, per tant, el divisor és incorrecte (N vs n − 1).
2. Càlcul erroni de la mitjana, que fa que tots els passos posteriors siguin incorrectes.
3. Oblidar-se d'elevar al quadrat la diferència o cometre un error en treure l'arrel quadrada al final.
4. Errors aritmètics en sumar o calcular els quadrats de nombres.
Es poden evitar errors creant una taula de càlcul i comprovant dues vegades els resultats.
Tancament
Calcular la desviació estàndard no és realment difícil si seguiu els passos correctament: calculeu la mitjana, trobeu la diferència entre cada conjunt de dades, eleveu al quadrat les diferències, sumeu-les, dividiu (per n o n − 1) i després feu l'arrel quadrada. En comprendre la desviació estàndard, podeu avaluar la consistència de les vostres dades i quanta variació hi ha.
Si voleu, també puc crear exemples addicionals amb més dades, exemples de dades agrupades (taules de freqüències) o com calcular la desviació estàndard mitjançant Excel/Google Sheets.
