Fórmules i exemples de vibració harmònica
La vibració harmònica és un tema clau en física, que apareix amb freqüència en debats sobre el moviment periòdic, les ones i les aplicacions d'enginyeria. La podem trobar en el moviment de les molles, els pèndols (per a angles petits) i fins i tot en la vibració de les molècules de la matèria. S'anomena "harmònica" perquè el seu moviment segueix un patró regular i es pot modelar amb funcions sinus o cosinus. Aquest article tracta una breu definició, fórmules clau i exemples de problemes amb solucions per ajudar-nos a entendre el concepte de vibració harmònica.
1. Comprensió de les vibracions harmòniques
La vibració harmònica simple (SHM) és el moviment d'anada i tornada d'un objecte més enllà d'un punt d'equilibri amb una força de restauració la magnitud de la qual és proporcional al desplaçament i la direcció de la qual sempre és cap al punt d'equilibri. Matemàticament, les seves característiques es poden escriure com:
F = −kx
El signe menys indica que la direcció de la força és oposada a la direcció de desviació. Si l'objecte s'estira cap a la dreta (x positiva), la força de restauració és cap a l'esquerra (negativa) i viceversa.
Els dos sistemes que més sovint es citen com a exemples de GHS són:
1. Sistema ressort-massa (massa al final de la ressort).
2. Pèndol simple (per a angles petits, normalment < 15°). 2. Magnituds importants en la vibració harmònica Algunes magnituds que sempre apareixen al GHS: - Desviació (x): la distància de l'objecte al punt d'equilibri (m). - Amplitud (A): la desviació màxima (m). - Període (T): el temps necessari per a una vibració completa (s). - Freqüència (f): el nombre de vibracions per segon (Hz). - Velocitat angular / freqüència angular (ω): un paràmetre important en l'equació sinus/cosinus (rad/s). - Fase (φ): determina les condicions inicials del moviment. La relació bàsica entre període i freqüència: f = 1/T I la relació de ω amb T i f: ω = 2πf = 2π/T 3. Equació de vibració harmònica La forma general de desviació en funció del temps es pot escriure: x(t) = A sin(ωt + φ) o x(t) = A cos(ωt + φ)
L'elecció de sin/cos és igualment correcta, depenent de les condicions inicials (per exemple, a t = 0, la posició està en amplitud o al punt d'equilibri). Velocitat i acceleració La velocitat és la primera derivada del desplaçament: v(t) = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) (si x = A sin) o també pot ser negativa segons la forma inicial. L'acceleració és la segona derivada: a(t) = d²x/dt² = −Aω² sin(ωt + φ) Com que x(t) = A sin(ωt + φ), aleshores: a(t) = −ω² x(t) Aquesta és una propietat clau del GHS: l'acceleració és proporcional al desplaçament i de direcció oposada. Velocitat màxima i acceleració màxima - v_max = Aω - a_max = Aω² La velocitat màxima es produeix quan l'objecte passa pel punt d'equilibri (x = 0). L'acceleració màxima es produeix quan està en amplitud (x = ±A). 4. Període de vibració en molles i pèndols A. Molla-Massa Per a una molla ideal amb constant de la molla k i massa m: T = 2π √(m/k) ω = √(k/m) Això significa que com més gran sigui la massa, més gran serà el període (més lent). Com més gran sigui k (més rígida serà la molla), més petit serà el període (més ràpid). B. Pèndol simple (angle petit) Per a un pèndol amb una longitud de corda L i acceleració gravitatòria g: T = 2π √(L/g) ω = √(g/L) Curiosament, en l'aproximació d'angle petit, el període no depèn de la massa del pèndol, només depèn de la longitud i la gravetat. 5. Energia en vibració harmònica En GHS, l'energia total roman constant (si no hi ha fricció): - Energia potencial de la molla: Ep = ½ kx² - Energia cinètica: Ek = ½ mv² - Energia mecànica total: E = Ek + Ep = ½ kA² Quan x = ±A, v = 0, de manera que tota l'energia és potencial. Quan x = 0, Ep = 0 i l'energia és totalment cinètica. 6. Exemples de preguntes i discussió Exemple 1: Determinació del període de la molla Una massa de 0,5 kg està penjada d'una molla amb una constant k = 200 N/m. Determineu el període de vibració! Donat: m = 0,5 kg, k = 200 N/m Pregunta: T Resposta: T = 2π √(m/k) = 2π √(0,5 / 200) = 2π √(0,0025) = 2π (0,05) = 0,1π s ≈ 0,314 s
Així doncs, el període de vibració de la molla és d'uns 0,314 s. --- Exemple 2: Determinació de la freqüència i ω A partir de la pregunta 1, determineu la freqüència (f) i ω! Resposta: f = 1/T = 1/0,314 ≈ 3,18 Hz ω = 2π/T = 2π/0,314 ≈ 20 rad/s (o directament ω = √(k/m) = √(200/0,5) = √400 = 20 rad/s) Per tant, la freqüència és d'uns 3,18 Hz i ω = 20 rad/s. --- Exemple 3: Equació de desviació Un objecte vibra harmònicament amb una amplitud de 0,10 m i ω = 5 rad/s. A t = 0, l'objecte es troba al punt d'equilibri i es mou en la direcció positiva. Determineu l'equació de desviació! Donat: A = 0,10 m, ω = 5 rad/s Condicions inicials: t = 0 → x = 0 i v inicial és positiva. Si x(0) = 0, la forma adequada és sinus: x(t) = A sin(ωt) Com que v(t) = Aω cos(ωt), aleshores v(0) = Aω cos(0) = Aω és positiva, en conseqüència. Per tant: x(t) = 0,10 sin(5t) (metres) --- Exemple 4: Velocitat màxima i acceleració màxima A partir de l'exemple 3, determineu v_max i a_max. Resposta: v_max = Aω = 0,10 × 5 = 0,50 m/s a_max = Aω² = 0,10 × 25 = 2,5 m/s² Per tant, v_max = 0,50 m/s i a_max = 2,5 m/s². --- Exemple 5: Energia en una molla Una molla amb k = 100 N/m vibra amb una amplitud de A = 0,20 m. Calcula la seva energia mecànica total! Resposta: E = ½ kA² = ½ (100)(0,20)² = 50 × 0,04 = 2 J L'energia mecànica total de la vibració és de 2 joules. --- Exemple 6: Període del pèndol Un pèndol simple fa 1 m de llarg. Si g = 10 m/s², determina'n el període. Resposta: T = 2π √(L/g) = 2π √(1/10) = 2π √0,1 ≈ 2π (0,316) ≈ 1,99 s Per tant, el període del pèndol és d'uns 2,0 s. 7. Conclusió La vibració harmònica simple és un moviment periòdic molt fonamental en física. La clau per entendre-ho rau en la relació entre la força de restauració, que és proporcional al desplaçament (F = −kx), així com el seu model matemàtic, que segueix la funció sinus/cosinus. Si enteneu la fórmula del període per a molles i pèndols, les equacions de desplaçament-velocitat-acceleració i el concepte d'energia, us serà més fàcil treballar en problemes relacionats amb vibracions i ones.
Si voleu, puc afegir preguntes de pràctica addicionals (sense parlar-ne abans) o crear una versió resumida de les fórmules a punt per a l'examen.
