Kako izračunati standardnu devijaciju
Standardna devijacija je jedna od najčešće korištenih statističkih mjera za određivanje koliko su podaci "rašireni" u odnosu na svoju srednju vrijednost. U stvarnom životu, standardna devijacija nam pomaže da razumijemo stabilnost ili varijaciju nekog fenomena: na primjer, varijacije u rezultatima testova, fluktuacije prodaje, razlike u visini, pa čak i rizike u finansijskim podacima. Što je standardna devijacija manja, to su podaci bliži srednjoj vrijednosti. Suprotno tome, velika standardna devijacija ukazuje na to da su podaci daleko od srednje vrijednosti i da imaju veliku varijaciju.
Ovaj članak će raspravljati o značenju standardne devijacije, korištenoj formuli i koracima za njeno ručno izračunavanje kroz lako razumljive primjere.
1. Definicija standardne devijacije
Standardna devijacija je kvadratni korijen varijanse. Sama varijanca je prosjek kvadrata razlika između svake tačke podataka i srednje vrijednosti. Zašto koristiti kvadrat? Zato što razlike između tačaka podataka i srednje vrijednosti mogu biti negativne ili pozitivne. Ako se direktno saberu, negativne i pozitivne razlike mogu se međusobno poništiti, što rezultira obmanjujućim rezultatima. Kvadriranjem razlika, sve vrijednosti postaju pozitivne, što omogućava preciznije mjerenje distribucije podataka.
Jednostavno:
– Varijanca = mjera raspršenosti u "kvadratnim" jedinicama.
– Standardna devijacija = mjera raspona koja se vratila na originalne jedinice podataka.
Primjer: ako su podaci u obliku rezultata testova (bodovnih jedinica), varijanca će biti u bodovima, dok će standardna devijacija ponovo biti u bodovima, što olakšava tumačenje.
2. Standardna devijacija populacije u odnosu na uzorak
Prije izračunavanja, važno je znati koju vrstu podataka imate:
1. Broj stanovnika: podaci uključuju sve članove koji će biti istraženi.
Formula standardne devijacije populacije koristi djelitelj N (broj podataka).
2. Uzorak: podaci su samo dio populacije, obično se koriste za predstavljanje veće populacije.
Formula standardne devijacije uzorka koristi djelitelj (n − 1) za korekciju pristranosti procjene. Ova korekcija se naziva Besselova korekcija.
U svakodnevnoj praksi (npr. istraživanje, ankete, analiza razreda), podaci se često smatraju uzorkom, pa je djelitelj (n − 1).
3. Formula standardne devijacije
A. Formula standardne devijacije populacije
Pretpostavimo da su podaci: \( x_1, x_2, \tačke, x_N \)
Prosječna populacija:
\[
\mu = \frac{\suma_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
Varijanca populacije:
\[
σ² = (suma i=1)^{N}(x_i – μ)²(N)
\]
Standardna devijacija populacije:
\[
σ = σ²
\]
B. Primjer formule za standardnu devijaciju
Prosječna vrijednost uzorka:
\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
Varijanca uzorka:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
Standardna devijacija uzorka:
\[
s = \sqrt{s^2}
\]
4. Koraci za ručno izračunavanje standardne devijacije
Radi lakšeg razumijevanja, koristimo primjer podataka o rezultatima ispita 5 studenata:
Podaci: 60, 70, 70, 80, 90
Pretpostavimo da su ovi podaci uzorak (uobičajeno u primjerima učenja).
Korak 1: Izračunajte prosjek
\[
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]
Dakle, prosječan rezultat je 74.
Korak 2: Izračunajte razliku između svakog podatka i prosjeka
Kreiraj kolonu razlike \( (x_i – \bar{x}) \):
– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16
Korak 3: Kvadrirajte razliku
Izračunaj (x_i – x)^2):
– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256
Korak 4: Sabirajte kvadrate razlika
\[
∫(x_i – x)² = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]
Korak 5: Izračunajte varijansu (za uzorak, podijelite sa n − 1)
Pošto je n = 5, onda je n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]
Dakle, varijanca uzorka je 130.
Korak 6: Izračunavanje kvadratnog korijena varijanse za dobijanje standardne devijacije
\[
s = \sqrt{130} \approx 11{,}40
\]
Dakle, standardna devijacija podataka je približno 11,40. To znači da, u prosjeku, rezultati učenika odstupaju za približno 11 bodova od prosjeka od 74.
5. Brzi način: Alternativna formula (izračunavanje)
Osim gore navedene ručne metode, postoji i računska formula koja se često koristi za ubrzavanje proračuna, posebno ako postoji mnogo podataka:
Varijanca uzorka:
\[
s^2 = ∫suma x_i^2 – ∫suma x_i)^2 n – 1
\]
Ova formula izbjegava izračunavanje razlika jednu po jednu, ali i dalje zahtijeva preciznost pri izračunavanju zbira kvadrata podataka.
Međutim, za konceptualno razumijevanje, metoda korak po korak (razlika → kvadrat → zbir) je obično lakša i sigurnija od grešaka.
6. Interpretacija standardne devijacije
Standardna devijacija se ne zaustavlja samo na brojevima, već se mora interpretirati:
– Mala standardna devijacija: podaci su grupirani blizu srednje vrijednosti, varijacija je mala, rezultati su konzistentniji.
– Velika standardna devijacija: podaci su raspršeni daleko od prosjeka, varijacija je velika, rezultati su manje konzistentni.
Na primjer, pretpostavimo da dvije klase imaju isti prosječni rezultat, 74. Ako klasa A ima standardnu devijaciju od 5, a klasa B standardnu devijaciju od 15, onda su rezultati u klasi A ujednačeniji i stabilniji. Klasa B ima veće varijacije: neki su vrlo niski, a neki vrlo visoki.
7. Uobičajene greške
Neke uobičajene greške pri izračunavanju standardne devijacije:
1. Zaboravio sam razlikovati uzorak od populacije, tako da je djelitelj pogrešan (N vs n − 1).
2. Pogrešno izračunavanje prosjeka, što rezultira time da su svi sljedeći koraci pogrešni.
3. Zaboravljanje kvadriranja razlike ili greška prilikom izračunavanja kvadratnog korijena na kraju.
4. Aritmetičke greške pri sabiranju ili izračunavanju kvadrata brojeva.
Sprečavanje grešaka može se postići kreiranjem tabele za izračunavanje i dvostrukom provjerom rezultata.
Zatvaranje
Izračunavanje standardne devijacije zapravo nije teško ako pravilno slijedite korake: izračunajte srednju vrijednost, pronađite razliku između svakog skupa podataka, kvadrirajte razlike, saberite ih, podijelite (s n ili n − 1), a zatim izvucite kvadratni korijen. Razumijevanjem standardne devijacije možete procijeniti koliko su vaši podaci konzistentni i koliko postoji varijacija.
Ako želite, mogu kreirati i dodatne primjere s više podataka, primjere grupiranih podataka (tabele frekvencija) ili kako izračunati standardnu devijaciju pomoću Excela/Google Sheets-a.
