পয়েসুইল সমীকরণ সম্পর্কিত প্রবন্ধ
পোয়াসুইলের সমীকরণটি আবিষ্কার করেন জঁ লুই মারি পোয়াসুইল (১৭৯৯-১৮৬৯)। যেমনটি ব্যাখ্যা করা হয়েছে, প্রতিটি তরলকে একটি আদর্শ তরল হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে। আদর্শ তরলের কোনো সান্দ্রতা নেই। যদি আমরা ধরে নিই যে একটি আদর্শ তরল একটি পাইপের মধ্যে দিয়ে প্রবাহিত হচ্ছে, তাহলে তরলটির প্রতিটি অংশ একই হারে (v) চলে। আদর্শ তরলের মতো নয়, আমাদের দৈনন্দিন জীবনে ব্যবহৃত বাস্তব তরলের সান্দ্রতা রয়েছে। যেহেতু এর সান্দ্রতা আছে, তাই যখন এটি একটি পাইপের মধ্যে দিয়ে প্রবাহিত হয়, উদাহরণস্বরূপ, তখন তরলটির প্রতিটি অংশের গতি পরিবর্তিত হয়। মাঝখানে থাকা তরলের স্তরটি দ্রুত চলে (v), অন্যদিকে, পাইপের সাথে সংযুক্ত তরলের স্তরটি চলে না (v = 0)। সুতরাং পাইপের মাঝখান থেকে প্রান্ত পর্যন্ত, তরলের প্রতিটি অংশ ভিন্ন ভিন্ন হারে চলে। আপনার বোঝার সুবিধার জন্য, নিচের ছবিটি দেখুন।
R = পাইপ/নলের ব্যাসার্ধ
v 1 = মাঝখানে / নলের অক্ষ বরাবর তরল প্রবাহের হার
v 2 = তরল প্রবাহের হার যা নলের প্রান্ত থেকে r 2 দূরত্বে অবস্থিত।
v 3 = নলের প্রান্ত থেকে তরল প্রবাহের হার r 3
v 4 = নলের প্রান্ত থেকে তরল প্রবাহের হার r 4
r = দূরত্ব
তরলের প্রতিটি অংশের প্রবাহের হার একই রাখার জন্য, যে পাইপ বা নলের মধ্য দিয়ে তরলটি প্রবাহিত হয়, তার দুই প্রান্তে একটি চাপের পার্থক্য থাকা প্রয়োজন। এখানে তরল বলতে প্রকৃত তরলকে বোঝানো হয়েছে, যেমন—পাইপের মধ্য দিয়ে প্রবাহিত জল বা তেল, রক্তনালীতে প্রবাহিত রক্ত ইত্যাদি। প্রকৃত তরলকে মসৃণভাবে প্রবাহিত হতে সাহায্য করার পাশাপাশি, এই চাপের পার্থক্য বিভিন্ন উচ্চতার পাইপের মধ্যেও তরলকে প্রবাহিত করতে পারে।
জঁ লুই মারি পোয়াজুই, একজন প্রাক্তন ফরাসি বিজ্ঞানী যিনি মানব রক্ত সঞ্চালনের ভৌত দিকগুলিতে আগ্রহী ছিলেন, তিনি গবেষণা করে দেখেন যে চাপের পার্থক্য, নলের প্রস্থচ্ছেদ এবং নলের আকারের মতো উপাদানগুলি কীভাবে তরল প্রবাহের প্রকৃত হারকে প্রভাবিত করে। জঁ লুই মারি পোয়াজুই কর্তৃক প্রাপ্ত ফলাফলটি পোয়াজুইয়ের সমীকরণ নামে পরিচিত।
পূর্বে গণনা করা একটি সান্দ্রতা সহগ সমীকরণের সাহায্যে পয়েসুইলের সমীকরণটি প্রতিপাদন করা যায়। আমরা সান্দ্রতার সমীকরণটি ব্যবহার করি কারণ ক্ষেত্র দুটি এক না হলেও, এদের মধ্যে সাদৃশ্য রয়েছে। সান্দ্রতা সহগ সমীকরণটি প্রতিপাদন করার সময়, আমরা দুটি সমান্তরাল পাতের মধ্যে বাস্তব তরল স্তরের প্রবাহ পর্যালোচনা করি, এবং আকর্ষণ বলের (F) কারণে তরলটি চলাচল করতে পারে। পার্থক্যটি হলো, আমরা যে পয়েসুইলের সমীকরণটি প্রতিপাদন করব, তা পাইপ/নলের মধ্যে বাস্তব তরলের প্রবাহ এবং চাপের পার্থক্যের কারণে প্রবাহিত তরলের উপর প্রভাব বিস্তারকারী উপাদানগুলো বর্ণনা করে। সুতরাং, সান্দ্রতা সহগ সমীকরণটিকে পুনরায় সমন্বয় করার প্রয়োজন হয়।
চাপের পার্থক্যের কারণে তরল প্রবাহিত হতে পারে (তরল উচ্চ চাপের স্থান থেকে নিম্ন চাপের স্থানে প্রবাহিত হয়), তখন আমরা F-কে p 1 – p 2 (p 1 > p 2 ) দ্বারা প্রতিস্থাপন করি।
সান্দ্রতা সহগের সমীকরণ প্রতিপাদন করার সময়, আমরা দুটি সমান্তরাল পাতের মধ্যে বাস্তব তরল স্তরের প্রবাহ পর্যালোচনা করি। তরলের প্রতিটি অংশ l দূরত্ব পর্যন্ত তার নিয়মিত গতি পরিবর্তন করে। এক্ষেত্রে, তরল প্রবাহের হার নলের অক্ষ থেকে নলের প্রান্ত পর্যন্ত নিয়মিতভাবে পরিবর্তিত হয়। নলের অক্ষ বরাবর তরল বেশি (v) গতিতে প্রবাহিত হয়। প্রান্ত যত দূরে থাকে, তরলের গতি তত কম হয়। নলের ব্যাসার্ধ = নলের অক্ষ এবং নলের প্রান্তের মধ্যবর্তী দূরত্ব = R। তরলের প্রতিটি অংশ এবং নলের প্রান্তের মধ্যবর্তী দূরত্ব = r। যেহেতু তরলের প্রতিটি অংশের পরিমাণ বিশাল এবং নলের প্রান্ত থেকে দূরত্বও ভিন্ন, তাই আমরা এটিকে এভাবে লিখি:
v 1 = নলের কিনারা থেকে r 1 দূরত্বে থাকা তরলের গতি (r 1 = R)
v 2 = নলের কিনারা থেকে r 2 দূরত্বে (r 2 < r 1 ) থাকা তরলের গতিবেগ
v₃ = নলের কিনারা থেকে r₃ দূরত্বে তরলের গতি ( r₃ < r₂ < r₁ )
v₄ = নলের কিনারা থেকে r₄ দূরত্বে অবস্থিত তরলের গতি ( r₄ < r₃ < r₂ < r₁ )
……………………………………… ..
v n = নলের কিনারা থেকে rn দূরত্বে তরলের প্রবাহের হার (rn <…… <r 4 <r 3 <r 2 <r 1 )
তরলের প্রতিটি অংশের পরিমাণ বিশাল, এবং এর প্রকৃত পরিমাণও আমরা সঠিকভাবে জানি না, তাই একে n প্রতীক দিয়ে লেখাই যথেষ্ট। নলের অক্ষ (r₁ = R) থেকে নলের প্রান্ত (rn) পর্যন্ত তরলের প্রতিটি অংশের গতি (v) নিয়মিতভাবে পরিবর্তিত হয়। নলের অক্ষ ( r₁ = R) থেকে নলের প্রান্ত (rn) পর্যন্ত, তরলের প্রতিটি অংশের পরিবর্তনের হার কমতে থাকে (v₁ > v₂ > v₃ > v₄ > ….> vₙ )।
উপরের ব্যাখ্যা থেকে আমরা দেখতে পাই যে, R থেকে rn পর্যন্ত তরল প্রবাহের হার হ্রাস পাচ্ছে। পাইপের দৈর্ঘ্য = L। প্রাপ্ত সমীকরণ:
যেহেতু আমরা তরল প্রবাহের গতি পর্যালোচনা করছি , তাই সমীকরণ ২ দাঁড়ায়:
এটি হলো R ব্যাসার্ধের একটি পাইপ থেকে r দূরত্বে তরল প্রবাহের গতিবেগের সমীকরণ। উপরের ছবিটি দেখে যদি বিভ্রান্ত হন… অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে তরলটি একটি নলের মধ্যে দিয়ে প্রবাহিত হয়, তাই আমাদের তরলের আয়তনভিত্তিক প্রবাহ হার পর্যালোচনা করতে হবে।
নলের ভিতরে তরল আছে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা তরলটিকে ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অংশে ভাগ করি, যেখানে প্রতিটি অংশের একক ক্ষেত্রফল dA, যা নলের অক্ষ থেকে দূরে অবস্থিত এবং যার প্রবাহের গতি v। গাণিতিকভাবে এটিকে নিম্নরূপে লেখা যেতে পারে:
dA 1 = তরল অংশ ২, যা টিউবের অক্ষ থেকে dr 1 দূরত্বে অবস্থিত।
dA 2 = তরল অংশ ২, যা টিউবের অক্ষ থেকে dr 2 দূরত্বে অবস্থিত।
dA₃ = তরল অংশ ৩, যা টিউবের অক্ষ থেকে dr₃ দূরত্বে অবস্থিত ।
.................................।
dAn = তরল অংশ n, যা টিউবের অক্ষ থেকে dn দূরত্বে অবস্থিত।
তরলের অংশ অনেক, তাই একে শুধু n প্রতীক দিয়ে লেখা হয়, যা অধিকতর ব্যবহারিক। তরলের প্রতিটি অংশের আয়তন প্রবাহের হার গাণিতিকভাবে নিম্নরূপে লেখা যায়:
তরলের প্রতিটি অংশ r = 0 থেকে r = R (R = নলের ব্যাসার্ধ) দূরত্বে অবস্থিত। অন্য কথায়, নলের অক্ষ থেকে পরিমাপ করলে তরলের প্রতিটি অংশের দূরত্ব পরিবর্তিত হয়। আমরা নলের মধ্যে তরলের আয়তন প্রবাহ হারের সমীকরণটি পাব:
Q = প্রবাহ, R = নল বা পাইপের ব্যাসার্ধ, η = সান্দ্রতা গুণাঙ্ক, P 1 – p 2 = পাইপের দুই প্রান্তের চাপের পার্থক্য, L = পাইপের দৈর্ঘ্য, p 1 -p 2 / L = চাপের নতি (তরল প্রবাহ সর্বদা চাপ হ্রাসের দিকে হয়)
উপরোক্ত পয়েসুইল সমীকরণ অনুসারে, দেখা যায় যে তরল আয়তনের প্রবাহ হার (Q) নলের ব্যাসার্ধ (R₄) ও চাপের নতি (p₂ – p₁/L)-এর সমানুপাতিক এবং সান্দ্রতার ব্যস্তানুপাতিক । যদি নলের ব্যাসার্ধ যোগ করা হয় (সান্দ্রতা সহগ এবং স্থির চাপের নতি), তাহলে তরল প্রবাহের গতি ১৬ গুণ বৃদ্ধি পায়।
পাইপ ডিজাইনের মৌলিক ধারণায় এই সমীকরণটি ব্যবহার করুন। তরল নিঃসরণ R⁴ (R = টিউবের ব্যাসার্ধ)-এর সমানুপাতিক । সিরিঞ্জ বা পাইপের আঙুলের ব্যাসার্ধ সাবধানে গণনা করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা সূঁচের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করি (rx 2), তাহলে স্প্রে করা তরল নিঃসরণের পরিমাণ বুড়ো আঙুলের চাপ বল ১৬ গুণ বাড়িয়ে দেয়।
পোয়াসুইল সমীকরণ আরও দেখায় যে ব্যাসার্ধ (r⁴ ) নলের দুই প্রান্তের চাপের পার্থক্যের ব্যস্তানুপাতিক। উদাহরণস্বরূপ, রক্ত প্রথমে এমন একটি রক্তনালীতে প্রবাহিত হয় যার ভেতরের ব্যাসার্ধ r। যদি ধমনীগুলো সরু হয়ে যায় (যেমন, r/2 = রক্তনালীর ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ কমে যায়),
তাহলে আগের মতো রক্ত প্রবাহ নিশ্চিত করতে (যাতে প্রবাহের গতি স্থির থাকে) ১৬ গুণ চাপের পার্থক্য প্রয়োজন।
