Дисперсия и стандартно отклонение на единични данни
Статистиката е наука, която изучава събирането, анализа, интерпретацията, представянето и организирането на данни. Един важен аспект на статистиката е как измерваме и разбираме променливостта в данните. Две ключови мерки за променливост са дисперсията и стандартното отклонение. Тази статия ще обсъди подробно дисперсията и стандартното отклонение, като се фокусира върху един набор от данни, ще обясни дефинициите, формулите, стъпките на изчисление и ще предостави практически примери за изясняване на понятията.
Определение на дисперсия и стандартно отклонение
Varian
Дисперсията е мярка за това колко далеч данните са разпръснати от средната стойност. Тя предоставя общ преглед на разнообразието или вариацията в набор от данни. В математически термини дисперсията е средната стойност на квадратите на отклоненията на всеки елемент от данните от неговата средна стойност.
Стандартно отклонение
Стандартното отклонение, известно още като стандартно отклонение, е корен квадратен от дисперсията. То предоставя информация за разпределението на данните в същите единици като оригиналните данни, което улеснява интерпретацията им в реални контексти.
Формули и изчисления
Varian
За да изчислим дисперсията (σ^2) на един набор от данни с размер n, можем да използваме следната формула:
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}{n} \]
Къде:
– \(x_i \) е i-тата стойност на данните.
– \( \bar{x} \) е средната стойност или осреднената стойност на данните.
– n е броят на данните в набора.
– (x_i – \bar{x})^2 е квадратът на разликата между всяка информация и нейната средна стойност.
Стандартно отклонение
Стандартното отклонение (σ) е квадратният корен от дисперсията, така че формулата е:
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
Стъпки на изчисление
Стъпка 1: Изчислете средната стойност на данните (средна стойност)
Първата стъпка е да се изчисли средната стойност (средна стойност) на набора от данни. Средната стойност се изчислява чрез сумиране на всички стойности на данните и разделяне на броя на стойностите на данните.
\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]
Стъпка 2: Изчислете разликата между всеки набор от данни спрямо средната стойност
След получаване на средната стойност, следващата стъпка е да се изчисли разликата между всяка стойност на данните и средната стойност (отклонение).
\[d_i = x_i – \bar{x} \]
Стъпка 3: Квадратирай всяко отклонение
След това повдигнете на квадрат всяко отклонение.
\[d_i^2 = (x_i – \bar{x})^2 \]
Стъпка 4: Сумиране на всички квадратни отклонения
Сумирайте всички повдигнати на квадрат резултати от предишната стъпка.
\[ \sum d_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \]
Стъпка 5: Изчисляване на дисперсията
Разделете сумата от квадратите на отклоненията на броя на данните (n), за да получите дисперсията.
\[ \sigma^2 = \frac{\sum d_i^2}{n} \]
Стъпка 6: Изчислете стандартното отклонение
Накрая, изчислете стандартното отклонение, като вземете квадратен корен от дисперсията.
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
Контох Перхитунган
За да изясним концепцията за изчисляване на дисперсия и стандартно отклонение, нека разгледаме следния пример. Да предположим, че имаме следния единичен набор от данни: 4, 8, 6, 5, 3.
Стъпка 1: Изчислете средната стойност на данните
\[ \bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 3}{5} = \frac{26}{5} = 5.2 \]
Стъпка 2: Изчислете разликата между всеки набор от данни спрямо средната стойност
Разликата между всяка стойност на данните и средната стойност:
– (4 – 5.2) = -1.2
– (8 – 5.2) = 2.8
– (6 – 5.2) = 0.8
– (5 – 5.2) = -0.2
– (3 – 5.2) = -2.2
Стъпка 3: Квадратирай всяко отклонение
Квадратът на всяко отклонение:
– (-1.2)^2 = 1.44
– 2.8^2 = 7.84
– 0.8^2 = 0.64
– (-0.2)^2 = 0.04
– (-2.2)^2 = 4.84
Стъпка 4: Сумиране на всички квадратни отклонения
\[ \sum d_i^2 = 1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84 = 14.8 \]
Стъпка 5: Изчисляване на дисперсията
\[ \sigma^2 = \frac{14.8}{5} = 2.96 \]
Стъпка 6: Изчислете стандартното отклонение
\[ \sigma = \sqrt{2.96} \приблизително 1.72 \]
Така че, в този пример, дисперсията на данните е 2.96, а стандартното отклонение е около 1.72.
Интерпретация
Дисперсията и стандартното отклонение предоставят важна информация за разпределението на данните. В горния пример, дисперсия от 2.96 показва, че средното квадратично отклонение на стойностите на данните от средната стойност е 2.96. Стандартно отклонение от 1.72 показва, че средно стойностите на данните се отклоняват с 1.72 единици от средната стойност.
Стандартното отклонение е по-лесно за интерпретация, защото има същите мерни единици като оригиналните данни. Например, в контекста на статистиката за доходите, ако данните имат стандартно отклонение от 500 долара, това означава, че средният доход се отклонява с 500 долара от средния доход.
Приложение в ежедневието
Разбирането на дисперсията и стандартното отклонение може да се приложи в различни области. Във финансите стандартното отклонение може да се използва за измерване на инвестиционния риск. В образованието може да се използва за оценка на вариациите в резултатите от тестовете между учениците. В производството може да помогне за контрола на качеството чрез измерване на вариациите в производството.
Заключение
Дисперсията и стандартното отклонение са два ключови статистически инструмента за разбиране на променливостта в набор от данни. Чрез изчисляване на дисперсията можем да определим колко разпръснати са данните. Стандартното отклонение, което е квадратният корен от дисперсията, предлага по-интуитивна интерпретация и се измерва в същите единици като оригиналните данни. Като разбираме и можем да изчисляваме тези две мерки, можем по-добре да анализираме данните и да вземаме по-информирани решения.
