Как да изчислим дисперсията
Дисперсията е статистическа мярка, която представлява степента на разсейване в набор от данни. Тя показва с колко отделните точки от данните се отклоняват от средната стойност на набора от данни. Разбирането на дисперсията е от решаващо значение за статистическия анализ, тъй като може да разкрие съгласуваността и надеждността на набора от данни. Независимо дали сте студент, изследовател или анализатор на данни, разбирането на концепцията за дисперсията и знанието как да я изчислите е от съществено значение. Тази статия ви запознава с това какво е дисперсия, нейното значение и стъпка по стъпка процедурата за изчисляване на дисперсията както за извадка, така и за популация.
Разбиране на дисперсията
За да започнем, нека дефинираме няколко основни термина, свързани с дисперсията:
– Средна стойност (μ или x̄): Средната стойност на точките от данните.
– Отклонение: Разликата между всяка точка от данните и средната стойност.
– Квадратно отклонение: Отклонението на всяка точка от данните, повдигнато на квадрат, за да се елиминират отрицателните стойности.
– Дисперсия (σ² или s²): Средната стойност на тези квадратни отклонения.
Значение на дисперсията
Дисперсията служи за няколко цели в статистиката:
1. Индикатор за дисперсия: Докато средната стойност предоставя централна цифра, дисперсията показва колко разпръснати са числата около средната стойност.
2. Оценка на риска: Във финансите по-голямата дисперсия често означава по-висок риск, тъй като доходността от активите е по-разпръсната.
3. Контрол на качеството: В производството, отклонението се използва, за да се гарантира, че продуктите отговарят на определени стандарти за качество чрез наблюдение на постоянството.
4. Тестване на хипотези: Дисперсията е ключов компонент в различни статистически тестове, като t-тестове и ANOVA.
Изчисляване на дисперсията за популация
Когато работите с пълен набор от данни, изчислявате дисперсията на генералната съвкупност.
Стъпки за изчисляване на дисперсията на популацията:
1. Намерете средната стойност: Сумирайте всички точки от данните и разделете резултата на броя на точките от данните.
2. Изчисляване на отклоненията: Извадете средната стойност от всяка точка от данните, за да получите отклонението.
3. Повдигнете на квадрат отклоненията: Повдигнете на квадрат всяко отклонение, за да направите всички стойности положителни.
4. Сумирайте квадратите на отклоненията: Сумирайте всички квадрати на отклоненията.
5. Изчислете дисперсията: Разделете общата сума на броя на точките от данни (N).
Формула:
\[ \sigma^2 = \frac{\sum (x_i – \mu)^2}{N} \]
Пример:
Да разгледаме набор от данни [2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9].
– Средно (μ) = (2+4+4+4+5+5+7+9) / 8 = 5
– Отклонения: [2-5, 4-5, 4-5, 4-5, 5-5, 5-5, 7-5, 9-5] = [-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4]
– Квадратични отклонения: [9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16]
– Сума от квадратите на отклоненията: 9+1+1+1+0+0+4+16 = 32
– Дисперсия (σ²) = 32 / 8 = 4
Изчисляване на дисперсията за извадка
Когато имате подмножество от данни от по-голяма генерална съвкупност, имате работа с дисперсия на извадката. Формулата се коригира за представянето на извадката за цялата генерална съвкупност, като използва \( N-1 \) вместо \( N \).
Стъпки за изчисляване на дисперсията на извадката:
1. Намерете средната стойност на извадката: Сумирайте всички точки от данните от извадката и ги разделете на броя на точките от извадката.
2. Изчисляване на отклоненията: Извадете средната стойност на извадката от всяка точка от данните.
3. Повдигнете на квадрат отклоненията: Повдигнете на квадрат всяко отклонение.
4. Сумирайте квадратите на отклоненията: Сумирайте всички квадрати на отклоненията.
5. Изчислете дисперсията: Разделете общата сума на броя точки от данни минус едно (N-1).
Формула:
\[s^2 = \frac{\sum (x_i – \bar{x})^2}{N-1} \]
Пример:
Разгледайте примерния набор от данни [3, 7, 7, 19].
– Средна стойност на извадката (x̄) = (3+7+7+19) / 4 = 9
– Отклонения: [3-9, 7-9, 7-9, 19-9] = [-6, -2, -2, 10]
– Квадратични отклонения: [36, 4, 4, 100]
– Сума от квадратите на отклоненията: 36 + 4 + 4 + 100 = 144
– Дисперсия (s²) = 144 / (4-1) = 144 / 3 = 48
Интерпретация на дисперсията
Високата дисперсия показва, че точките от данните са по-разпръснати от средната стойност, докато ниската дисперсия означава, че са по-близо до средната стойност. Дисперсията обаче не винаги е лесна за директно тълкуване, защото е в квадратни единици. За да се върнем към оригиналните единици на данните, често вземаме квадратен корен от дисперсията, което ни дава стандартното отклонение (σ или s).
Стандартно отклонение:
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
\[s = \sqrt{s^2} \]
В нашия пример с популацията по-горе, стандартното отклонение би било:
\[ \sigma = \sqrt{4} = 2 \]
Често срещани грешки, които трябва да се избягват
1. Объркващи формули за генерална съвкупност и извадка: Не забравяйте, че дисперсията на генералната съвкупност използва \( N \), докато дисперсията на извадката използва \( N-1 \).
2. Пренебрегване на стъпката за повдигане на квадрат: Повдигането на квадрат на отклоненията е от решаващо значение за премахване на отрицателните стойности.
3. Забравяне за прилагане на средната стойност: Отклоненията винаги се изчисляват от средната стойност.
Инструменти и софтуер
Въпреки че изчисляването на дисперсията на ръка е отлично за разбиране на концепцията, на практика може да използвате софтуер като Microsoft Excel, Python, R или специализирани статистически инструменти, които могат да изчислят дисперсията бързо:
– Excel: Използвайте `VAR.P()` за дисперсия на генералната съвкупност и `VAR.S()` за дисперсия на извадката.
– Python: Използвайте `numpy.var()` за дисперсията на генералната съвкупност и задайте параметъра `ddof=1` за дисперсията на извадката.
– R: Използвайте `var()` за дисперсията на извадката. За дисперсията на генералната съвкупност, умножете резултата по `(N-1)/N`.
Заключение
Разбирането и изчисляването на дисперсията е от основно значение за всеки, който се занимава с анализ на данни. Това ви дава представа за разпределението на данните и е стъпка към по-сложни статистически анализи. Като следвате описаните стъпки и избягвате често срещани капани, можете точно да изчислите и интерпретирате дисперсията, като по този начин осигурите надеждни статистически прозрения.
