Нарича се уравнение на Поазой, защото е открито от покойния Жан Луи Мари Поазой (1799-1869). Както е обяснено, всеки флуид може да се счита за идеален флуид. Идеалните флуиди нямат вискозитет. Ако си представим идеален флуид, течащ в тръба, всяка част от флуида се движи с еднаква скорост (v). За разлика от идеалните флуиди, реалните флуиди или флуидите, с които се сблъскваме в ежедневието, имат вискозитет. Тъй като имат вискозитет, когато текат в тръба, например, скоростта на всяка част от флуида варира. Слоят флуид в средата се движи по-бързо (v е голямо), докато слоят флуид, прикрепен към тръбата, не се движи, т.е. неподвижен (v = 0). Така че, от центъра до ръба на тръбата, всяка част от флуида се движи с различна скорост. За да ви е по-лесно да разберете, разгледайте изображението по-долу…
Информация :
R = радиус на тръбата/тръбата
v 1 = дебит на флуида в центъра/оста на тръбата
v2 = дебит на флуида на разстояние r2 от ръба на тръбата
v3 = дебит на флуида на разстояние r3 от ръба на тръбата
v4 = дебит на флуида на разстояние r4 от ръба на тръбата
r = разстояние
За да се гарантира, че дебитът на всяка течност е еднакъв, трябва да има разлика в налягането в двата края на всяка тръба или тръба, през която тече течността. Под течност тук имаме предвид реални течности, като вода или масло, протичащи през тръба, кръв, протичаща през кръвоносни съдове и др. Освен че спомагат за плавното протичане на реална течност, разликите в налягането могат също така да позволят на течностите да текат в тръби на различна височина.
Жан Луи Мари Поазой, бивш френски учен, интересуващ се от физическите аспекти на човешкото кръвообращение, провежда изследвания, за да проучи как фактори като разликите в налягането, площта на напречното сечение на тръбата и размерът на тръбата влияят върху скоростта на реална течност. Резултатите, получени от Жан Луи Мари Поазой, са известни като уравнението на Поазой.
Уравнението на Поазой може да се изведе, като се използва предварително изведеното уравнение за коефициента на вискозитет. Използваме уравнението за коефициента на вискозитет, защото случаят е подобен, макар и не идентичен. При извеждането на уравнението за коефициента на вискозитет, разглеждаме потока на реален флуиден слой между две успоредни плочи, като флуидът може да се движи поради силата на опън (F). Разликата е, че уравнението на Поазой, което ще изведем, всъщност посочва факторите, които влияят на потока на реален флуид в тръба, а флуидът тече поради разликите в налягането. Следователно, уравнението за коефициента на вискозитет трябва да се коригира отново.
Флуидите могат да текат поради разлики в налягането (флуидите текат от места с високо налягане към места с ниско налягане), така че заместваме F с p1 – p2 ( p1 > p2 ).
Когато извеждаме уравнението за коефициента на вискозитет, разглеждаме потока на реален флуиден слой между две успоредни плочи. Всяка част от флуида претърпява регулярна промяна в скоростта с разстояние l. В този случай дебитът на флуида се променя регулярно от оста на тръбата до ръба на тръбата. Флуидът по оста на тръбата тече с по-голяма скорост (v). Колкото по-наблизо към ръба, толкова по-малка е скоростта на флуида. Радиусът на тръбата = разстоянието между оста на тръбата и ръба на тръбата = R. Разстоянието между всяка част от флуида и ръба на тръбата = r. Тъй като броят на всяка част от флуида е много голям и разстоянието им от ръба на тръбата също варира, просто го записваме така:
v 1 = скорост на флуида на разстояние r1 от ръба на тръбата (r1 = R)
v2 = скорост на флуида на разстояние r2 от ръба на тръбата (r2 < r1 )
v3 = скорост на флуида на разстояние r3 от ръба на тръбата (r3 < r2 < r1 )
v4 = скорост на флуида на разстояние r4 от ръба на тръбата (r4 < r3 < r2 < r1 )
............................................. ..
vn = скорост на флуида на разстояние rn от ръба на тръбата (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)
Броят на всяка част от флуида е много голям и ние също не знаем точно колко е всъщност, така че е достатъчно да го запишем със символа n. Всяка част от флуида претърпява промяна в скоростта (v) редовно, от оста на тръбата (r1 = R) до ръба на тръбата (rn). От оста на тръбата (r1 = R) до ръба на тръбата (rn), скоростта на всяка част от флуида намалява (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).
От горното обяснение можем да добием представа, че от R до rn, дебитът на флуида намалява. Дължината на тръбата = L. Полученото уравнение е:
Тъй като това, което разглеждаме, е скоростта (v) на потока на флуида, уравнение 2 става:
Това е уравнението за дебита на флуида на разстояние r от тръба с радиус R. Ако сте объркани, докато гледате изображението по-горе... Моля, обърнете внимание, че флуидът тече в тръба, така че трябва да разгледаме обемния дебит на флуида.
Вътре в тръбата се намира флуид. Например, разделяме флуида на много малки парчета, където всяко парче има единична площ dA, е на разстояние от оста на тръбата и има дебит v. Математически това може да се запише по следния начин:
dA1 = флуидно сечение 1, което е на разстояние 1 от оста на тръбата
dA2 = флуидно сечение 2, което е на разстояние 2 от оста на тръбата
dA3 = флуидно сечение 3, което е на разстояние 3 от оста на тръбата
..................................
dA n = флуидно сечение n, което е разстоянието dA n от оста на тръбата
Има толкова много флуидни частици, че е удобно просто да ги обозначим със символа n. Обемният дебит на всяка флуидна частица може да се запише математически, както следва:
Всяко парче флуид е на разстояние от r = 0 до r = R (R = радиусът на тръбата). С други думи, разстоянието на всяко парче флуид варира, когато се измерва от оста на тръбата. Ако се поиграем с математически анализ (интегриране), ще получим уравнението за обемния дебит на флуида в тръбата:
Информация :
Q = Дебит
R = Вътрешен радиус на тръбата
η = Коефициент на вискозитет
P1 – p2 = Разлика в налягането между двата края на тръбата
L = Дължина на тръбата
p1 -p2 /L = Градиент на налягането (потокът на флуида винаги е в посока на намаляване на налягането )
Въз основа на горното уравнение на Поазой, изглежда, че обемният дебит на флуида, известен още като дебит (Q), е пропорционален на четвъртата степен на радиуса на тръбата (R4 ) , градиента на налягането (p2 – p1 / L) и е обратно пропорционален на вискозитета. Ако радиусът на тръбата се увеличи (коефициентът на вискозитет и градиентът на налягането остават постоянни), тогава дебитът на флуида се увеличава 16 пъти.
Основната концепция за проектиране на тръби, спринцовки и други неща използва това уравнение. Дебитът на флуида е пропорционален на R4 ( R = радиус на тръбата). Радиусът на спринцовката или радиусът на тръбата трябва да се изчисли внимателно. Например, ако удвоим радиуса на иглата (r x 2), тогава дебитът на флуида, който пръска, = увеличава силата на натиск на палеца 16 пъти.
Уравнението на Поазой показва също, че четвъртата степен на радиуса (r4 ) е обратно пропорционална на разликата в налягането между двата края на тръбата. Например, първоначално кръвта тече в кръвоносен съд с вътрешен радиус r. Ако има стесняване на кръвоносния съд (например, r/2 = вътрешният радиус на кръвоносния съд се намалява 2 пъти), тогава е необходима разлика в налягането от 16 пъти, за да може кръвта да тече както преди (така че обемният поток на кръвта да остане постоянен).
