Примерни въпроси, обсъждащи дисперсията и стандартното отклонение на груповите данни
Пендахулуан
В статистиката дисперсията и стандартното отклонение са две статистически мерки, които са от решаващо значение за разбирането на дисперсията или разсейването на данните от средната стойност. Дисперсията измерва доколко данните са разпръснати от средната стойност, докато стандартното отклонение е корен квадратен от дисперсията, предоставяйки мярка, която е в същите единици като оригиналните данни.
Определение
– Дисперсия (σ² или S²): Това е средната стойност на квадратите на разликите между всяка стойност на данните и средната стойност на данните.
– Стандартно отклонение (σ или S): Това е корен квадратен от дисперсията.
Формула за дисперсия и стандартно отклонение на групови данни
За групови данни използваме честотата на данните във всеки клас. Ето формулата:
Varian
\[S^2 = \frac{ \sum f_i \left(x_i – \bar{x} \right)^2 }{N-1 } \]
Стандартно отклонение
\[ S = \sqrt{S^2} \]
Къде:
– \(f_i \) = честота на всеки клас.
– \(x_i \) = средна точка на всеки клас.
– \( \bar{x} \) = средната стойност на груповите данни.
– \( N \) = общ брой данни.
Контох Соал и Пембахасан
Да предположим, че имаме данни за теглото на група хора, групирани в класове.
| Интервал на теглото (кг) | Честота (ед) |
|————————|—————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
Първата стъпка е да се определи средната точка на всеки клас ( \(x_i \) \) и след това да се изчисли средната стойност ( \( \bar{x} \) \).
1. Изчисляване на средната точка ( \( x_i \) )
\[ \text{Средна точка} = \frac{\text{Долна граница} + \text{Горна граница}}{2} \]
| Интервал на теглото (кг) | Честота (f) | Средна точка ( \( x_i \) ) |
|——————|—————–|————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. Изчисляване на средната стойност ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N } \]
Общ брой данни \( N \):
\[ N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[ \sum f_i x_i = (2 x 52) + (5 x 57) + (8 x 62) + (7 x 67) + (3 x 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
И така, средната стойност (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]
3. Изчисляване на дисперсията ( \( S^2 \) )
Трябва да изчислим ( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \):
\[
\begin{подравняване}
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{подравняване}
\]
Умножаване по честота:
\[
\begin{подравняване}
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68 \\
& 5 \u33.64 = 168.2 \\
& 8 \умножено по 0.64 = 5.12 \\
& 7 умножено по 17.64 = 123.48
& 3 умножено по 84.64 = 253.92
\end{подравняване}
\]
\[
\sum f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Сега можем да изчислим дисперсията (\( S^2 \)):
\[S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \приблизително 32.85 \]
4. Изчисляване на стандартното отклонение ( \( S \) )
Стандартно отклонение ( \(S \)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ 32.85 } \приблизително 5.73 \]
Заключение
От горните примерни данни имаме:
– Изчисляване на средното телесно тегло: 62.8 кг
– Изчисляване на отклонението: 32.85 кг²
– Изчисляване на стандартното отклонение: 5.73 кг
Интерпретацията на стандартното отклонение е, че средното отклонение на данните за теглото от средната стойност е приблизително 5.73 кг. Това показва разсейването на данните спрямо средната стойност, което може да помогне да се заключи колко променливи са нашите данни.
Пълното разбиране на дисперсията и стандартното отклонение е от решаващо значение, особено за тези, които работят в областта на статистиката, изследванията и тестването, тъй като се опитват да разберат данните под формата на групи или разпределения. Познаването на това как да се изчисляват и интерпретират тези две мерки може да помогне за по-добро вземане на решения въз основа на наличните данни.
