Примерни въпроси, обсъждащи уравнението на допирателна към окръжност
Пендахулуан
Уравнението на допирателна към окръжност е важна тема в аналитичната геометрия. Разбирането как да се определи уравнението на допирателна към окръжност може да помогне за решаването на голямо разнообразие от математически задачи от средно до напреднало ниво. Тази статия ще обсъди различни примерни задачи и методи за определяне на уравнението на допирателна към окръжност.
Дефиниция и основна теория
Окръжност в координатната равнина обикновено може да бъде представена с квадратно уравнение:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
където \((a, b)\) е централната точка на окръжността, а \(r\) е радиусът на окръжността.
Допирателна към окръжност от външна точка е линия, която докосва окръжността точно в една точка. Ако приемем, че линията има уравнението:
\[y = mx + c \]
тогава условието, че правата (y = mx + c) ще бъде допирателна към окръжността, може да се изрази по следния начин:
\[ \sqrt{(a + bm)^2 – r^2} = |c| \]
Където m е наклонът на допирателната, а c е константа.
Формула за уравнение на допирателната линия
За допирателна към окръжност с център (0,0) и радиус (r), нейното уравнение в точката (x_1, y_1)) върху окръжността е:
\[x_1x + y_1y = r^2 \]
Но ако центърът на окръжността е в точка \((a, b)\), тогава уравнението е:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2 \]
Примерни въпроси и дискусии
Въпрос 1
Окръжност с център в точката (3, 4) и радиус 5 единици. Определете уравнението на допирателната от точката (6, 8).
Дискусия:
В тази задача ни е дадена окръжност с център в точката \(3, 4)\, радиус 5 и трябва да намерим уравнението на допирателната от точката \(6, 8)\). Ето стъпките за решаването ѝ:
1. Проверете дали точката \((6, 8)\) не е вътре в окръжността: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
Така че точката е върху окръжността, така че може да се използва за намиране на допирателната.
2. Използвайки формулата:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 – 3)(x – 3) + (8 – 4)(y – 4) = 5^2
\]
3. Опростете уравнението:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]
4. Развийте:
\[
3x – 9 + 4y – 16 = 25
\]
\[
3x + 4y – 25 = 50
\]
Уравнението на получената допирателна е:
\[
3x + 4y = 50
\]
Въпрос 2
Окръжност с уравнение \[x^2 + y^2 = 16\]. Определете уравнението на допирателната от точката \((4, 0)\).
Дискусия:
Окръжност с център в \(0, 0)\) и радиус 4 единици. Дадената външна точка е \((4, 0)\).
1. Използвайки формулата за окръжност с център \((0, 0)\):
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]
2. Заместване на стойност:
\[
4x + 0 \cdot y = 4^2
\]
3. Опростете:
\[
4х = 16
\]
\[
х = 4
\]
Което означава, че тангентното уравнение, което имаме, е:
\[
х = 4
\]
Въпрос 3
Начертайте линия, която е допирателна към окръжността ((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9) в точката ((-1, 5)).
Дискусия:
Окръжност с център в \((-2, 3)\) и радиус 3 единици. Точката на допир е \((-1, 5)\).
1. Проверете дали точката лежи върху окръжността:
\[
((-1+2)^2 + (5-3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \rightarrow \text{не е върху кръг}
\]
Следователно, може да има грешка при въвеждането на въпроса или точката. Ако като точка на допир е дадена \((-2, 6)\):
2. Опростете:
\[
(x_1-a)(xa) + (y_1-b)(yb) = r^2
\]
Заместване:
\[
(-2-(-2))(x+2) + (6-3)(y-3) = 9\]
Резултат:
\[
0 + 3(y-3) = 3^2
\]
\[
3г-9=9
\]
\[
у = 6
Оказва се, че точка & лица:
y = 6 определено е валидно.
Заключение, проверка на комбинацията, запомняне, 2 начина за броене.
валидно/невярно..Това плюс обобщение gar. td 2; форма валидира с (мрежа). plis периметър всички бутони за покритие.
Това е всичко, благодаря ви и се надявам това да е полезно за моите приятели.
Освен това, научете концепцията за засилване на разбирането.
Тези, които преди не са разбирали, ако Бог е благосклонен, ще имат по-подробни критични хирургически стъпки.
\[
.facts(n+x)=qa.\color{предотвратява}-fu.
"
