Примерни въпроси и обсъждане на разпределението на вероятностите
Разпределението на вероятностите е едно от основните понятия в статистиката и вероятностите. То се използва за разбиране на вероятността за поява на различни стойности на случайно число. Разпределенията на вероятностите могат да приемат много форми в зависимост от естеството на анализираните данни. Двата най-често срещани типа разпределения на вероятностите са дискретни и непрекъснати. В тази статия ще разгледаме няколко примерни задачи и ще обсъдим разпределенията на вероятностите, за да ни помогнат да разберем по-добре тази тема.
Дискретно разпределение
Дискретното разпределение е разпределение, което изчислява вероятността на дискретна случайна променлива, т.е. променлива, която може да приема само определени стойности. Добре известни примери за дискретни разпределения са биномиалното разпределение и разпределението на Поасон.
Пример 1: Биномиално разпределение
Биномиалното разпределение описва броя на успехите в поредица от опити на Бернули. Всяко изпитване на Бернули има два резултата: успех или неуспех. Вероятността за успех остава постоянна през цялото изпитване.
Въпрос:
Фармацевтична компания тества ново лекарство върху 10 пациенти. Вероятността лекарството да проработи при който и да е пациент е 0.7. Изчислете вероятността лекарството да проработи при точно 7 от 10 пациенти.
Дискусия:
Случайната променлива \(X\) следва биномиално разпределение с \(n = 10\) и \(p = 0.7\). Биномиалната вероятностна функция е:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
За \(k = 7\):
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
Изчисляване на биномиалния коефициент \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
Изчисляване на стойностите на вероятностите:
\[ P(X = 7) = 120 \ пъти (0.7)^7 \ пъти (0.3)^3 \]
\[ P(X = 7) \приблизително 120 \ пъти 0.0823543 \ пъти 0.027 \]
\[ P(X = 7) \приблизително 0.231 \]
Така че, вероятността лекарството да действа при точно 7 от 10 пациенти е около 0.231 или 23.1%.
Пример 2: Разпределение на Поасон
Разпределението на Поасон се използва за моделиране на броя на случванията на рядко събитие в рамките на даден времеви или пространствен интервал.
Въпрос:
Един магазин получава средно по 4 клиенти на час. Каква е вероятността магазинът да получи точно 5 клиенти за един час?
Дискусия:
Случайната променлива \(X\) следва разпределение на Поасон с параметър \(\lambda = 4\). Функцията на вероятностната маса на Поасон е:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
За \(k = 5\):
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]
Брой:
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \приблизително \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \приблизително 0.156 \]
Така че вероятността магазинът да получи точно 5 клиенти за един час е около 0.156 или 15.6%.
Непрекъснато разпределение
Непрекъснатите разпределения се използват, когато измерваната случайна променлива може да приеме всяка стойност в определен диапазон. Добре известни примери за непрекъснати разпределения са нормалното разпределение и експоненциалното разпределение.
Пример 3: Нормално разпределение
Нормалното разпределение, често наричано Гаусово разпределение, е разпределение, което се използва често в различни области, включително науката, инженерството и икономиката.
Въпрос:
Височината на възрастните мъже в един град е нормално разпределена със средна стойност 170 см и стандартно отклонение 10 см. Каква е вероятността произволно избран мъж да е висок между 160 см и 180 см?
Дискусия:
Трябва да изчислим z-стойността за 160 см и 180 см. Z-стойността се определя като:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
За \(X = 160\):
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
За \(X = 180\):
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
Сега трябва да разгледаме стойностите на вероятностите от -1 до 1 в z-таблицата. Стойността от z = -1 до z = 1 е приблизително 0.6826.
Така че вероятността произволно избран мъж да е висок между 160 см и 180 см е приблизително 0.6826 или 68.26%.
Пример 4: Експоненциално разпределение
Експоненциалното разпределение се използва за моделиране на времето между събитията в процес на Поасон.
Въпрос:
Средното време между двама пристигания на клиенти в магазина е 15 минути. Каква е вероятността времето между двама пристигания на клиенти да е по-малко от 10 минути?
Дискусия:
Експоненциалното разпределение има параметър \(\lambda\), който е обратна стойност на средната стойност (\(\mu\)). При средна стойност от 15 минути:
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
Експоненциалната кумулативна функция на разпределение е:
\[ P(X ≤ x) = 1 – e^{-\lambda x} \]
За \(x = 10\):
\[ P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.0667 \x 10} \]
\[ P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X ≥ 10) \приблизително 1 – 0.5134 \]
\[ P(X ≥ 10) \приблизително 0.4866 \]
Така че вероятността времето между две пристигания на клиенти да е по-малко от 10 минути е около 0.4866 или 48.66%.
Заключение
Вероятностните разпределения, както дискретни, така и непрекъснати, са много полезни понятия за моделиране и разбиране на поведението на случайни променливи. Биномиалното и Поасоновото разпределение често се използват за дискретни променливи, докато нормалните и експоненциалните разпределения са примери за непрекъснати разпределения.
Надяваме се, че чрез горните примери сте придобили по-добро разбиране за това как да изчислявате и интерпретирате вероятностите в вероятностните разпределения. С постоянна практика способността ви да разбирате вероятностните разпределения ще се подобри и ще може да се прилага в различни дисциплини.
