Артыкул пра ўраўненне Пуазейля
Ураўненне Пуазейля было адкрыта Жанам Луі Мары Пуазейлем (1799-1869). Як тлумачылася, кожную вадкасць можна лічыць ідэальнай вадкасцю. Ідэальная вадкасць не мае глейкасці. Калі выказаць здагадку, што ідэальная вадкасць цячэ ў трубе, кожная частка вадкасці рухаецца з аднолькавай хуткасцю (v). У адрозненне ад ідэальнай вадкасці, рэальная вадкасць, з якой мы сутыкаемся ў паўсядзённым жыцці, мае глейкасць. Паколькі яна мае глейкасць, то пры цячэнні ў трубе, напрыклад, хуткасць кожнай часткі вадкасці змяняецца. Слой вадкасці, які знаходзіцца пасярэдзіне, рухаецца хутчэй (глыбокі v), а пласт вадкасці, прымацаваны да трубы, наадварот, не рухаецца (v = 0). Такім чынам, ад сярэдзіны да краю трубы кожная частка вадкасці рухаецца з рознай хуткасцю. Каб палегчыць ваша разуменне, паглядзіце на малюнак ніжэй.
R = радыус трубы/трубы
v 1 = хуткасць патоку вадкасці ў сярэдзіне / восі трубкі
v² = хуткасць патоку вадкасці, якая знаходзіцца на адлегласці r² ад краю трубкі
v3 = хуткасць патоку вадкасці r3 ад краю трубкі
v4 = хуткасць патоку вадкасці r4 ад краю трубкі
r = адлегласць
Каб хуткасць патоку кожнай часткі вадкасці была аднолькавай, павінна быць розніца ціску на абодвух канцах трубы або любой трубкі, праз якую праходзіць вадкасць. Пад вадкасцю тут маецца на ўвазе рэальная вадкасць, напрыклад, вада або алей, якія цякуць па трубе, кроў, якая цячэ ў крывяноснай пасудзіне і г.д. Акрамя таго, што розніца ціску дапамагае рэальнай вадкасці плаўна цячы, яна таксама можа прымусіць вадкасці цячы ў трубах рознай вышыні.
Жан Луі Мары Пуазей, былы французскі навуковец, які цікавіўся фізічнымі аспектамі кровазвароту чалавека, даследаваў, як такія фактары, як перапад ціску, плошча папярочнага дыяметра трубкі і памер трубкі, уплываюць на рэальную хуткасць патоку вадкасці. Вынікі, атрыманыя Жанам Луі Мары Пуазейлем, вядомыя як ураўненне Пуазейля.
Ураўненне Пуазейля можна атрымаць з дапамогай раней разлічанага ўраўнення каэфіцыента глейкасці. Мы выкарыстоўваем ураўненне глейкасці, таму што выпадкі падобныя, хоць і розныя. Пры вывадзе ўраўнення каэфіцыента глейкасці мы разглядаем паток рэальнага пласта вадкасці паміж двума паралельнымі пласцінамі, і вадкасць можа рухацца з-за прыцягнення (F). Розніца заключаецца ў тым, што ўраўненне Пуазейля, якое мы будзем атрымліваць, вызначае фактары, якія ўплываюць на паток рэальнай вадкасці ў трубе/трубе і вадкасць, якая цячэ з-за рознасці ціскаў. Такім чынам, ураўненне каэфіцыента глейкасці неабходна зноў скарэктаваць.
Вадкасць можа цячы з-за розніцы ціску (вадкасць цячэ з месца высокага ціску ў месца, дзе ціск нізкі), тады мы замяняем F на p1 – p2 ( p1 > p2 ).
Пры вывадзе ўраўнення каэфіцыента глейкасці мы разглядаем паток рэальнага пласта вадкасці паміж двума паралельнымі пласцінамі. Кожная частка вадкасці змяняе сваю рэгулярную хуткасць да l. У гэтым выпадку хуткасць патоку вадкасці рэгулярна змяняецца ад восі трубкі да краю трубкі. Вадкасць па восі трубкі цячэ з большай хуткасцю (v). Чым больш краю, тым меншая хуткасць вадкасці. Радыус трубкі = адлегласць паміж воссю трубкі і краем трубкі = R. Адлегласць паміж кожнай часткай вадкасці і краем трубкі = r. Паколькі колькасць кожнай часткі вадкасці велізарная, а адлегласць ад краю трубкі таксама розная, мы проста запішам гэта так:
v 1 = хуткасць вадкасці, якая знаходзіцца на адлегласці r 1 ад краю трубкі (r 1 = R)
v² = хуткасць вадкасці, якая знаходзіцца на адлегласці r² ад краю трубкі ( r² < r¹ )
v3 = хуткасць вадкасці на адлегласці r3 ад краю трубкі ( r3 < r2 < r1 )
v4 = хуткасць вадкасці, якая знаходзіцца на адлегласці r4 ад краю трубкі ( r4 < r3 < r2 < r1 )
……………………………………… ..
v n = хуткасць цячэння вадкасці на адлегласці rn ад краю трубкі (rn <…… <r 4 <r 3 <r 2 <r 1 )
Колькасць кожнай часткі вадкасці велізарная, і мы таксама не ведаем дакладна, колькі гэта насамрэч, таму дастаткова запісаць яе сімвалам n. Кожная частка вадкасці рэгулярна змяняе хуткасць (v) ад восі трубкі (r1 = R) да краю трубкі (rn). Ад восі трубкі (r1 = R) да краю трубкі (rn) хуткасць кожнай часткі вадкасці меншая (v1 > v2 > v3 > v4 > ….> vn ).
З прыведзенага вышэй тлумачэння можна зрабіць выснову, што ад R да rn хуткасць патоку вадкасці памяншаецца. Даўжыня трубы = L. Атрыманае ўраўненне:
Паколькі мы разглядаем хуткасць патоку вадкасці , то раўнанне 2 прымае наступны выгляд:
Гэта ўраўненне хуткасці патоку вадкасці на адлегласці r ад трубы з радыусам R. Калі вы збянтэжыліся, гледзячы на малюнак вышэй… Звярніце ўвагу, што вадкасць цячэ ў трубцы, таму нам трэба разгледзець хуткасць патоку аб'ёму вадкасці.
Унутры трубкі знаходзіцца вадкасць. Напрыклад, мы падзяляем вадкасць на малюсенькія часткі, дзе кожная частка мае адзінку плошчы dA, адлеглую ад восі трубкі, і мае хуткасць патоку v. Матэматычна гэта можна запісаць наступным чынам:
dA 1 = частка вадкасці 1, якая роўная адлегласці dr 1 ад восі трубкі
dA 2 = частка вадкасці 2, якая роўная адлегласці dr 2 ад восі трубкі
dA3 = частка вадкасці 3, якая знаходзіцца на адлегласці dr3 ад восі трубкі
..................................
dAn = частка вадкасці n, якая складае адлегласць dn ад восі трубкі
Частак вадкасці вельмі шмат, таму яны проста запісваюцца сімвалам n, каб гэта было больш практычна. Аб'ёмны расход кожнай часткі вадкасці можна запісаць матэматычна наступным чынам:
Кожная частка вадкасці знаходзіцца на адлегласці ад r = 0 да r = R (R = радыус трубкі). Іншымі словамі, адлегласць кожнай часткі вадкасці змяняецца пры вымярэнні ад восі трубкі. Мы атрымаем ураўненне аб'ёмнага расходу вадкасці ў трубцы:
Q = Выдатак, R = радыус трубы або трубкі, η = каэфіцыент глейкасці, P1 – p2 = Розніца ціскаў паміж двума канцамі трубы, L = даўжыня трубы, p1 -p2 / L = Градыент ціску (паток вадкасці заўсёды ў напрамку падзення ціску )
Зыходзячы з прыведзенага вышэй ураўнення Пуазейля, відаць, што хуткасць патоку аб'ёму вадкасці (Q) прапарцыйная радыусу трубкі (R4 ) , градыенту ціску (p2 – p1 / L) і адваротна прапарцыйная глейкасці. Калі дадаць радыус трубкі (каэфіцыент глейкасці і фіксаваны градыент ціску), то хуткасць патоку вадкасці павялічваецца ў 16 разоў.
У асноўнай канцэпцыі праектавання труб выкарыстоўвайце гэтае ўраўненне. Выдатак вадкасці прапарцыйны R⁴ ( R = радыус трубкі). Радыус пальцаў шпрыца або трубы неабходна старанна разлічыць. Напрыклад, калі падвоіць радыус іголкі (rx²), то выкід вадкасці, які распыляецца, павялічвае сілу сціскання вялікага пальца ў 16 разоў.
Ураўненне Пуазейля таксама паказвае, што радыус (r4 ) адваротна прапарцыйны розніцы ціскаў паміж двума канцамі трубы. Напрыклад, кроў спачатку цячэ ў крывяноснай пасудзіне, унутраны радыус якой роўны r. Калі адбываецца звужэнне артэрый (напрыклад, r/2 = радыус крывяносных сасудаў памяншаецца ўдвая),
тады для таго, каб кроў цякла як раней (каб хуткасць патоку была пастаяннай), патрэбна розніца ціску ў 16 разоў.
