Прыклады пытанняў і абмеркаванне ўласцівасцей пэўных інтэгралаў
Пэўны інтэграл — гэта фундаментальнае паняцце ў вылічэнні, надзвычай карыснае ў шырокім дыяпазоне прымянення ў матэматыцы, фізіцы і інжынерыі. У гэтым артыкуле мы растлумачым некаторыя важныя ўласцівасці пэўнага інтэграла і прывядзем прыклады і рашэнні, каб паглыбіць ваша разуменне тэмы.
Уласцівасці пэўных інтэгралаў
Перш чым перайсці да прыкладаў задач, давайце разгледзім некаторыя асноўныя ўласцівасці пэўных інтэгралаў, якія важна ведаць:
1. Уласцівасць лінейнасці:
– Калі f(x) і g(x) — інтэгравальныя функцыі, а a і b — канстанты, то:
\[
\int_a^b [af(x) + bg(x)] \, dx = a \int_a^bf(x) \, dx + b \int_a^bg(x) \, dx.
\]
2. Інтэграл ад канстанты:
– Калі \(c \) — канстанта, то:
\[
\int_a^bc \, dx = c(b – a).
\]
3. Уласцівасці складання інтэрвалаў:
\[
\int_a^cf(x) \, dx + \int_c^bf(x) \, dx = \int_a^bf(x) \, dx
\]
4. Змена абмежаванняў:
\[
\int_a^bf(x) \, dx = – \int_b^af(x) \, dx
\]
5. Нуль на той жа мяжы:
\[
\int_a^af(x) \, dx = 0
\]
Прыклад пытання 1: Выкарыстанне ўласцівасці лінейнасці
Прыклад задачы:
Разлічыце значэнне:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx
\]
Абмеркаванне:
Выкарыстайце ўласцівасць лінейнасці, каб падзяліць інтэграл на два:
\[
∫_0^2 (3x^2 + 2x) = ∫_0^2 ∫x^2 dx + ∫_0^2 ∫x dx
\]
Вылічым першы інтэграл:
\[
\int_0^2 3x^2 \, dx
\]
\[
= 3 \int_0^2 x^2 \, dx
\]
\[
= 3 [x^3}{3]_0^2
\]
\[
= 3 (2^3}{3} – 0^3}{3})
\]
\[
= 3 (8/3)
\]
\[
= 8
\]
Цяпер вылічым другі інтэграл:
\[
\int_0^2 2x \, dx
\]
\[
= 2 \int_0^2 x \, dx
\]
\[
= 2 [x^2}{2]_0^2
\]
\[
= 2 (1 – 0)
\]
\[
= 2
\]
Аб'яднайце два вынікі:
\[
\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx = 8 + 2 = 10
\]
Прыклад пытання 2: Інтэграл ад канстанты
Прыклад задачы:
Разлічыце значэнне:
\[
\int_1^4 5 \, dx
\]
Абмеркаванне:
Выкарыстоўваючы інтэгральную ўласцівасць канстант, можна запісаць:
\[
\int_1^4 5 \, dx = 5 \cdot (4 – 1)
\]
\[
= 5 \cdot 3
\]
\[
= 15
\]
Прыклад пытання 3: Уласцівасці гранічнага змянення
Прыклад задачы:
Дакажыце, што:
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = – \int_5^2 x^2 \, dx
\]
Абмеркаванне:
Пачнем з інтэграла ад \(x^2 \) на прамежку \([2, 5] \):
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_2^5
\]
\[
= \frac{5^3}{3} – \frac{2^3}{3}
\]
\[
= \frac{125}{3} – \frac{8}{3}
\]
\[
= \frac{117}{3}
\]
\[
= 39
\]
Цяпер вылічым інтэграл ад \(x^2 \) на прамежку \([5, 2] \) і пераканаемся, што адказ зменены на адваротны знак:
\[
\int_5^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_5^2
\]
\[
= \frac{2^3}{3} – \frac{5^3}{3}
\]
\[
= \frac{8}{3} – \frac{125}{3}
\]
\[
= -\frac{117}{3}
\]
\[
= -39
\]
Даказана, што:
\[
\int_2^5x^2 \, dx = – \int_5^2x^2 \, dx.
\]
Прыклад пытання 4: Уласцівасці складання інтэрвалаў
Прыклад задачы:
Калі вядомыя \(\int_2^4 f(x) \, dx = 7\) і \(\int_4^6 f(x) \, dx = 5\), вылічыце значэнне \(\int_2^6 f(x) \, dx\).
Абмеркаванне:
Выкарыстоўваючы ўласцівасць складання інтэрвалаў:
\[
\int_2^6 f(x) \, dx = \int_2^4 f(x) \, dx + \int_4^6 f(x) \, dx
\]
\[
= 7 + 5
\]
\[
= 12
\]
Выснова
Пэўны інтэграл мае шмат важных уласцівасцей, якія могуць дапамагчы нам больш эфектыўна вырашаць розныя тыпы задач. У гэтым артыкуле мы абмеркавалі некаторыя з гэтых асноўных уласцівасцей і прывялі прыклады, якія паказваюць, як гэтыя ўласцівасці можна прымяніць на практыцы. Пры дастатковай колькасці разумення і практыкі вы зможаце вырашаць задачы на пэўны інтэграл з большай упэўненасцю.
