Harmonik Vibrasiya Formülləri və Nümunələri
Harmonik titrəmə fizikada əsas mövzudur və dövri hərəkət, dalğalar və mühəndislik tətbiqləri ilə bağlı müzakirələrdə tez-tez rast gəlinir. Biz bunu yayların, sarkaçların (kiçik bucaqlar üçün) hərəkətində və hətta maddədəki molekulların titrəməsində tapa bilərik. Buna "harmonik" deyilir, çünki onun hərəkəti müntəzəm bir nümunəni izləyir və sinus və ya kosinus funksiyaları ilə modelləşdirilə bilər. Bu məqalədə harmonik titrəmə anlayışını anlamağımıza kömək etmək üçün qısa tərif, əsas düsturlar və nümunəvi məsələlər müzakirə olunur.
1. Harmonik Vibrasiyaları Anlamaq
Sadə harmonik vibrasiya (SAV), ölçüsü yerdəyişmə ilə mütənasib olan və istiqaməti həmişə tarazlıq nöqtəsinə doğru olan bərpaedici qüvvə ilə tarazlıq nöqtəsindən keçən bir cismin geri-geri hərəkətidir. Riyazi olaraq, onun xüsusiyyətləri aşağıdakı kimi yazıla bilər:
F = −kx
Mənfi işarəsi qüvvənin istiqamətinin sapma istiqamətindən əks olduğunu göstərir. Əgər cisim sağa çəkilərsə (müsbət x), bərpaedici qüvvə sola (mənfi) və əksinədir.
GHS-ə ən çox nümunə kimi göstərilən iki sistem bunlardır:
1. Yay-kütlə sistemi (yayın sonundakı kütlə).
2. Sadə sarkaç (kiçik bucaqlar üçün, adətən < 15°).
2. Harmonik Vibrasiyalarda Vacib Kəmiyyətlər
GHS-də həmişə görünən bəzi miqdarlar:
– Sapma (x): obyektin tarazlıq nöqtəsindən (m) məsafəsi.
– Amplituda (A): maksimum sapma (m).
– Dövr (T): bir tam titrəmə(lər) üçün tələb olunan vaxt.
– Tezlik (f): saniyədə titrəmələrin sayı (Hz).
– Bucaq sürəti / bucaq tezliyi (ω): sinus/kosinus tənliyində vacib parametr (rad/s).
– Faza (φ): hərəkətin ilkin şərtlərini təyin edir.
Dövr və tezlik arasındakı əsas əlaqə:
f = 1/T
Və ω-nın T və f ilə əlaqəsi:
ω = 2πf = 2π/T
3. Harmonik Vibrasiya Tənliyi
Sapmanın zaman funksiyası kimi ümumi forması belə yazıla bilər:
x(t) = A sin(ωt + φ)
atau
x(t) = A cos(ωt + φ)
sin/cos seçimi ilkin şərtlərdən asılı olaraq eyni dərəcədə düzgündür (məsələn, t = 0 olduqda, mövqe amplitudada və ya tarazlıq nöqtəsindədir).
Sürət və sürətlənmə
Sürət yerdəyişmənin ilk törəməsidir:
v(t) = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) (əgər x = A sindirsə)
və ya ilkin formaya görə mənfi bir dəyərə də sahib ola bilər.
Sürətlənmə ikinci törəmədir:
a(t) = d²x/dt² = −Aω² sin(ωt + φ)
x(t) = A sin(ωt + φ) olduğundan, onda:
a(t) = −ω² x(t)
Bu, GHS-in əsas xüsusiyyətidir: sürətlənmə yerdəyişməyə mütənasibdir və istiqaməti əksinədir.
Maksimum Sürət və Maksimum Sürətlənmə
– v_max = Aω
– a_max = Aω²
Maksimum sürət cisim tarazlıq nöqtəsini keçdikdə (x = 0) baş verir. Maksimum təcil amplitudada (x = ±A) baş verir.
4. Yaylarda və Sarkaçlarda Titrəmə Dövrü
A. Yaz-Kütlə
Yay sabiti k və kütləsi m olan ideal yay üçün:
T = 2π √(m/k)
ω = √(k/m)
Bu o deməkdir ki, kütlə nə qədər böyükdürsə, dövr bir o qədər böyükdür (yavaş). k nə qədər böyükdürsə (sərt yay), dövr bir o qədər kiçikdir (daha sürətli).
B. Sadə Sarkaç (Kiçik Bucaq)
Sap uzunluğu L və cazibə qüvvəsi sürətlənməsi g olan bir sarkaç üçün:
T = 2π √(L/q)
ω = √(q/L)
Maraqlıdır ki, kiçik bucaq yanaşmasında dövr sarkaçın kütləsindən deyil, yalnız uzunluq və cazibə qüvvəsindən asılıdır.
5. Harmonik Titrəmələrdə Enerji
GHS-də ümumi enerji sabit qalır (sürtünmə olmadığı təqdirdə):
– Yayın potensial enerjisi:
Ep = ½ kx²
– Kinetik enerji:
Ek = ½ mv²
– Ümumi mexaniki enerji:
E = Ek + Ep = ½ kA²
x = ±A olduqda, v = 0 olduqda, enerji tamamilə potensialdır. x = 0 olduqda, Ep = 0 və enerji tamamilə kinetikdir.
6. Nümunə Suallar və Müzakirə
Nümunə 1: Yaz dövrünün təyin edilməsi
0,5 kq kütləli bir şey k = 200 N/m sabit olan bir yayın üzərinə asılıb. Titrəmə dövrünü təyin edin!
Verilmişdir: m = 0,5 kq, k = 200 N/m
Sual verildi: T
Cavab:
T = 2π √(m/k)
= 2π √(0,5 / 200)
= 2π √(0,0025)
= 2π (0,05)
= 0,1π s
≈ 0,314 s
Beləliklə, yayın titrəmə dövrü təxminən 0,314 s-dir.
-
Nümunə 2: Tezliyin və ω-nin təyini
1-ci sualdan (f) və ω tezliyini təyin edin!
Cavab:
f = 1/T = 1/0,314 ≈ 3,18 Hz
ω = 2π/T = 2π/0,314 ≈ 20 rad/s
(və ya birbaşa ω = √(k/m) = √(200/0,5) = √400 = 20 rad/s)
Beləliklə, tezlik təxminən 3,18 Hz və ω = 20 rad/s-dir.
-
Nümunə 3: Sapma Tənliyi
Cisim 0,10 m amplituda və ω = 5 rad/s ilə harmonik şəkildə titrəyir. t = 0-da cisim tarazlıqdadır və müsbət istiqamətdə hərəkət edir. Yerdəyişmə tənliyini təyin edin!
Verilmişdir: A = 0,10 m, ω = 5 rad/s
Başlanğıc şərtlər: t = 0 → x = 0 və başlanğıc v müsbətdir.
Əgər x(0) = 0 olarsa, uyğun forma sinusdur:
x(t) = A sin(ωt)
v(t) = Aω cos(ωt) olduğundan, v(0) = Aω cos(0) = müvafiq olaraq müsbət Aω olur.
Beləliklə:
x(t) = 0,10 sin(5t) (metr)
-
Nümunə 4: Maksimum Sürət və Maksimum Təcillənmə
3-cü nümunədən v_max və a_max-ı təyin edin.
Cavab:
v_max = Aω = 0,10 × 5 = 0,50 m/s
a_max = Aω² = 0,10 × 25 = 2,5 m/s²
Beləliklə, v_max = 0,50 m/s və a_max = 2,5 m/s².
-
Nümunə 5: Yayda enerji
k = 100 N/m olan yay A = 0,20 m amplituda ilə titrəyir. Onun ümumi mexaniki enerjisini hesablayın!
Cavab:
E = ½ kA²
= ½ (100)(0,20)²
= 50 × 0,04
= 2 J
Titrəmənin ümumi mexaniki enerjisi 2 jouldur.
-
Nümunə 6: Sarkaç Periodu
Sadə bir sarkaç 1 m uzunluğundadır. Əgər g = 10 m/s² olarsa, onun dövrünü təyin edin.
Cavab:
T = 2π √(L/q)
= 2π √(1/10)
= 2π √0,1
≈ 2π (0,316)
≈ 1,99 s
Beləliklə, sarkaçın fırlanma dövrü təxminən 2,0 saniyədir.
7. Nəticə
Sadə harmonik rəqs fizikada fundamental dövri hərəkətdir. Onu anlamağın açarı bərpaedici qüvvə ilə yerdəyişmə (F = −kx) arasındakı əlaqədə və sinus/kosinus funksiyasını izləyən riyazi modelindədir. Yay və sarkaç dövrü üçün düsturları, yerdəyişmə-sürət-təcillənmə tənliklərini və enerji anlayışını anlamaqla, titrəmələr və dalğalarla əlaqəli problemləri həll etməyin daha asan olduğunu görəcəksiniz.
İstəsəniz, əlavə təcrübə sualları əlavə edə bilərəm (əvvəlcə müzakirə etmədən) və ya imtahana hazır formulların ümumiləşdirilmiş versiyasını yarada bilərəm.
