اختبار مان ويتني في الإحصاء

اختبار مان-ويتني في الإحصاء

الإحصاء فرع من فروع الرياضيات يهتم بجمع البيانات وتحليلها وتفسيرها وعرضها. يُستخدم الإحصاء في مجالات متنوعة لاتخاذ قرارات مبنية على البيانات. من التقنيات الشائعة في الإحصاء اختبار مان-ويتني (المعروف أيضًا باختبار مان-ويتني يو أو اختبار ويلكوكسون لجمع الرتب). وهو أسلوب لا معلمي يُستخدم لتحديد ما إذا كان هناك فرق معنوي بين مجموعتين غير مرتبطتين.

مقدمة لاختبار مان ويتني

طُوِّر اختبار مان-ويتني عام 1947 على يد هنري مان ودونالد ويتني كبديل غير معلمي لاختبار t. لا يتطلب هذا الاختبار افتراض التوزيع الطبيعي، ولذلك فهو مفيدٌ بشكل خاص عندما لا تتبع البيانات التوزيع الطبيعي أو عندما يكون حجم العينة صغيرًا جدًا بحيث لا يُمكن التحقق من صحة افتراض التوزيع الطبيعي.

المبادئ الأساسية لاختبار مان-ويتني

يُستخدم اختبار مان-ويتني لمقارنة الوسيطين لمجموعتين. المبدأ الأساسي هو:

1. ترتيب الملاحظات: تُجمع جميع البيانات من المجموعتين وتُرتب من الأصغر إلى الأكبر. في حال وجود قيم متطابقة، يُرتب كل عنصر حسب متوسط ​​رتبته الصحيحة.

2. حساب الاختبار الإحصائي: تُحسب قيمة الاختبار الإحصائي (U) بناءً على مجموع رتب كل مجموعة. هناك طريقتان للحساب: إحداهما تبدأ بالمجموعة الأولى والأخرى بالمجموعة الثانية.

– الصيغة العامة لـ U هي:
\[
U_1 = n_1 \times n_2 + \frac{n_1 \times (n_1 + 1)}{2} – R_1
\]
atau
\[
U_2 = n_1 \times n_2 + \frac{n_2 \times (n_2 + 1)}{2} – R_2
\]
أين:
يمثل كل من \(n_1\) و \(n_2\) عدد المشاهدات في كل مجموعة،
- يمثل كل من \(R_1\) و \(R_2\) عدد الرتب في كل مجموعة.

3. اختبار الدلالة الإحصائية: يُجرى اختبار الدلالة الإحصائية لتحديد قيمة الاحتمال (p-value). في حالة حجم العينة الكبير، يمكن تقريب توزيع U بتوزيع طبيعي.

الافتراضات في اختبار مان-ويتني

على الرغم من أن اختبار مان-ويتني هو اختبار غير معلمي ولا يتطلب افتراض التوزيع الطبيعي، إلا أن هناك العديد من الافتراضات ذات الصلة التي يجب استيفاؤها لصحة النتائج:

1. الاستقلالية: يجب أن تكون كل ملاحظة في كلتا المجموعتين مستقلة عن الأخرى.
2. المقياس الترتيبي أو الفتري: يجب أن تكون البيانات على مقياس ترتيبي أو فتري. وهذا يعني أنه يمكن فرز البيانات وأنها تحتوي على معلومات تصنيفية.
3. نطاق التوزيع: يجب أن يكون لتوزيع المجموعتين نفس الشكل (على الرغم من أن الوسيط قد يكون مختلفًا).

خطوات إجراء اختبار مان-ويتني

فيما يلي الخطوات التي يتم اتباعها عادةً لإجراء اختبار مان-ويتني:

1. دمج البيانات وفرزها: ادمج البيانات من المجموعتين ورتبها بشكل عام. يتم تحديد الترتيبات وفقًا للترتيب مع تعديلات للترتيب المرتبط بالقيمة المتوسطة.

2. حساب عدد الرتب: احسب عدد الرتب لكل مجموعة.

3. تحديد قيمة U للإحصاءات: استخدم الصيغة الموضحة سابقًا لحساب قيمة U لكلا المجموعتين.

4. تحديد القيمة الحرجة أو قيمة p: قارن قيمة U التي تم الحصول عليها مع القيمة الحرجة من جدول توزيع U (أو احسب قيمة p) لتحديد ما إذا كان الفرق بين المجموعات ذا دلالة إحصائية.

على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا مجموعتين من البيانات A و B. قد تمثل هذه البيانات علاجين مختلفين لمرض معين، ونريد أن نعرف ما إذا كان أحد العلاجين أكثر فعالية من الآخر.

أمثلة عملية

لنفترض أن لدينا مجموعتين علاجيتين:

– العلاج أ: [85، 90، 88، 75، 91]
– العلاج ب: [80، 78، 95، 87، 92]

1. دمج البيانات وفرزها:
– المركب: [85، 90، 88، 75، 91، 80، 78، 95، 87، 92]
– الترتيب والتصنيف: [75(1)، 78(2)، 80(3)، 85(4)، 87(5)، 88(6)، 90(7)، 91(8)، 92(9)، 95(10)]

2. حساب عدد الرتب:
– عدد تقييمات العلاج أ: 4 + 7 + 6 + 1 + 8 = 26
– عدد تقييمات العلاج ب: 3 + 2 + 10 + 5 + 9 = 29

3. حساب قيمة U:
\[
U_A = n_1 × n_2 + (n_1 × (n_1 + 1))/2 – R_A = 5 × 5 + (5 × (5 + 1))/2 – 26 = 25 + 15 – 26 = 14
\]
\[
U_B = n_1 × n_2 + (n_2 × (n_2 + 1))/2 – R_B = 5 × 5 + (5 × (5 + 1))/2 – 29 = 25 + 15 – 29 = 11
\]
اختر قيمة U أصغر، وهي U = 11.

4. تحديد الأهمية:
قارن قيمة U التي تم الحصول عليها مع قيمة U الحرجة لـ جدول التوزيع استخدم اختبار مان-ويتني أو احسب قيمة الاحتمال (p-value). إذا كانت قيمة U أقل من القيمة الحرجة أو كانت قيمة الاحتمال أقل من ألفا (مثل 0,05)، فإننا نرفض الفرضية الصفرية. الفرضية الصفرية وخلصت الدراسة إلى وجود فرق كبير بين المجموعتين.

مزايا وعيوب اختبار مان-ويتني

مزايا:

1. غير معلمي: لا يتطلب افتراض التوزيع الطبيعي.
2. المرونة: يمكن استخدامها عندما تكون البيانات على مقياس ترتيبي أو تحتوي على قيم متطرفة.
3. بسيط وفعال: سهل الحساب والتفسير.

التعليقات:

1. فقدان الكفاءة: في التوزيع الطبيعي، يكون اختبار t أكثر كفاءة.
2. افتراض نفس شكل التوزيع: يفترض هذا الاختبار نفس شكل التوزيع بين المجموعتين.
3. محدودية أحجام العينات الصغيرة: قد يكون التوزيع التقاربي أقل دقة في العينات الصغيرة جدًا.

استنتاج

يُعد اختبار مان-ويتني أداةً إحصائيةً لا معلميةً قويةً ومرنةً لتحديد الفروق بين مجموعتين غير مترابطتين. بفهم مبادئه الأساسية وخطوات تطبيقه، يُمكننا استخدام هذا الاختبار في تطبيقات متنوعة عبر مختلف المجالات البحثية. ورغم وجود بعض القيود، إلا أن مزاياه في ظروف معينة تجعله أسلوبًا قيّمًا للغاية في الإحصاء.