صيغ وأمثلة الاهتزاز التوافقي

صيغ وأمثلة الاهتزاز التوافقي

يُعدّ الاهتزاز التوافقي موضوعًا أساسيًا في الفيزياء، ويظهر بكثرة في مناقشات الحركة الدورية والأمواج والتطبيقات الهندسية. نجده في حركة النوابض والبندولات (عند الزوايا الصغيرة)، وحتى في اهتزاز جزيئات المادة. يُطلق عليه اسم "توافقي" لأن حركته تتبع نمطًا منتظمًا ويمكن تمثيلها بدوال الجيب أو جيب التمام. تتناول هذه المقالة تعريفًا موجزًا، والصيغ الأساسية، وأمثلة تطبيقية مع حلولها لمساعدتنا على فهم مفهوم الاهتزاز التوافقي.

1. فهم الاهتزازات التوافقية

الاهتزاز التوافقي البسيط هو حركة ذهابًا وإيابًا لجسم ما حول نقطة اتزان، مع وجود قوة استعادة تتناسب قيمتها مع الإزاحة ويكون اتجاهها دائمًا نحو نقطة الاتزان. رياضيًا، يمكن كتابة خصائصه على النحو التالي:

F = −kx

تشير علامة السالب إلى أن اتجاه القوة معاكس لاتجاه الانحراف. فإذا سُحب الجسم إلى اليمين (محور س موجب)، تكون قوة الإرجاع إلى اليسار (محور س سالب)، والعكس صحيح.

النظامان الأكثر شيوعًا كمثالين على نظام GHS هما:

1. نظام الكتلة والنابض (الكتلة في نهاية النابض).
2. البندول البسيط (للزوايا الصغيرة، عادةً < 15 درجة).

2. الكميات المهمة في الاهتزازات التوافقية

بعض الكميات التي تظهر دائمًا في نظام GHS:

– الانحراف (x): مسافة الجسم من نقطة التوازن (م).
– السعة (A): أقصى انحراف (m).
– الفترة (T): الوقت اللازم لاهتزاز كامل واحد (s).
– التردد (f): عدد الاهتزازات في الثانية (هرتز).
– السرعة الزاوية / التردد الزاوي (ω): معلمة مهمة في معادلة الجيب / جيب التمام (راديان / ثانية).
– الطور (φ): يحدد الشروط الأولية للحركة.

العلاقة الأساسية بين الدورة والتكرار:

f = 1/T

وعلاقة ω مع T و f:

ω = 2πf = 2π/T

3. معادلة الاهتزاز التوافقي

يمكن كتابة الشكل العام للانحراف كدالة للزمن على النحو التالي:

x(t) = A sin(ωt + φ)
atau
x(t) = A cos(ωt + φ)

إن اختيار sin/cos صحيح بنفس القدر، اعتمادًا على الشروط الأولية (على سبيل المثال، عندما يكون t = 0، يكون الموضع في السعة أو عند نقطة التوازن).

السرعة والتسارع

السرعة هي المشتق الأول للإزاحة:

v(t) = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) (إذا كان x = A sin)
أو يمكن أن تكون لها قيمة سالبة وفقًا للشكل الأولي.

التسارع هو المشتقة الثانية:

a(t) = d²x/dt² = −Aω² sin(ωt + φ)

بما أن x(t) = A sin(ωt + φ)، فإن:

a(t) = −ω² x(t)

هذه سمة أساسية لنظام GHS: التسارع يتناسب طرديًا مع الإزاحة وعكسيًا في الاتجاه.

أقصى سرعة وأقصى تسارع

– v_max = Aω
– a_max = Aω²

تحدث أقصى سرعة عندما يمر الجسم بنقطة التوازن (x = 0). ويحدث أقصى تسارع عند السعة (x = ±A).

4. فترة الاهتزاز في النوابض والبندولات

أ. سبرينغ-ماس

بالنسبة لنابض مثالي ذي ثابت نابض k وكتلة m:

T = 2π √(m/k)
ω = √(k/m)

هذا يعني أنه كلما زادت الكتلة، زاد زمن الدورة (أبطأ). وكلما زادت قيمة k (زنبرك أكثر صلابة)، قل زمن الدورة (أسرع).

ب. البندول البسيط (زاوية صغيرة)

بالنسبة لبندول طول خيطه L وتسارعه الجاذبي g:

T = 2π √(L/g)
ω = √(g/L)

ومن المثير للاهتمام، أنه في نهج الزاوية الصغيرة، لا تعتمد الفترة على كتلة البندول، بل على الطول والجاذبية فقط.

5. الطاقة في الاهتزازات التوافقية

في نظام GHS، تظل الطاقة الكلية ثابتة (إذا لم يكن هناك احتكاك):

– طاقة الوضع للنابض:
Ep = ½ kx²
– الطاقة الحركية:
Ek = ½ mv²
– إجمالي الطاقة الميكانيكية:
E = Ek + Ep = ½ kA²

عندما تكون x = ±A، فإن v = 0، وبالتالي تكون الطاقة كامنة بالكامل. وعندما تكون x = 0، فإن Ep = 0، وبالتالي تكون الطاقة حركية بالكامل.

6. أمثلة على الأسئلة والمناقشة

مثال 1: تحديد فترة الربيع

كتلة مقدارها 0,5 كجم معلقة بنابض ثابت مرونته k = 200 نيوتن/متر. احسب زمن دورة الاهتزاز!

المعطيات: m = 0,5 كجم، k = 200 نيوتن/متر
سأل: ت

جواب:

T = 2π √(m/k)
= 2π √(0,5 / 200)
= 2π √(0,0025)
= 2π (0,05)
= 0,1π ثانية
≈ 0,314 ثانية

إذن، فإن فترة اهتزاز الزنبرك تبلغ حوالي 0,314 ثانية.

-

مثال 2: تحديد التردد و ω

انطلاقاً من السؤال 1، حدد التردد (f) و ω!

جواب:

f = 1/T = 1/0,314 ≈ 3,18 هرتز

ω = 2π/T = 2π/0,314 ≈ 20 راد/ثانية
(أو مباشرة ω = √(k/m) = √(200/0,5) = √400 = 20 راديان/ثانية)

إذن، التردد حوالي 3,18 هرتز و ω = 20 راديان/ثانية.

-

مثال 3: معادلة الانحراف

يهتز جسم اهتزازًا توافقيًا بسعة 0,10 متر وتردد ω = 5 راديان/ثانية. عند الزمن t = 0، يكون الجسم في حالة اتزان ويتحرك في الاتجاه الموجب. أوجد معادلة الإزاحة!

المعطيات: A = 0,10 م، ω = 5 راديان/ثانية
الشروط الابتدائية: t = 0 → x = 0 و v الابتدائية موجبة.

إذا كانت x(0) = 0، فإن الشكل المناسب هو دالة الجيب:
x(t) = A sin(ωt)

بما أن v(t) = Aω cos(ωt)، فإن v(0) = Aω cos(0) = Aω موجب، وفقًا لذلك.

لذا:

x(t) = 0,10 sin(5t) (متر)

-

المثال 4: السرعة القصوى والتسارع الأقصى

من المثال 3، حدد v_max و a_max.

جواب:

v_max = Aω = 0,10 × 5 = 0,50 م/ث

a_max = Aω² = 0,10 × 25 = 2,5 م/ث²

إذن، v_max = 0,50 م/ث و a_max = 2,5 م/ث².

-

مثال 5: الطاقة في الزنبرك

نابض ثابت مرونته k = 100 نيوتن/متر يهتز بسعة A = 0,20 متر. احسب طاقته الميكانيكية الكلية!

جواب:

E = ½ kA²
= ½ (100)(0,20)²
= 50 × 0,04
= 2 جول

تبلغ الطاقة الميكانيكية الكلية للاهتزاز 2 جول.

-

المثال 6: فترة البندول

بندول بسيط طوله 1 متر. إذا كانت قيمة تسارع الجاذبية الأرضية g تساوي 10 م/ث²، فحدد دورته.

جواب:

T = 2π √(L/g)
= 2π √(1/10)
= 2π √0,1
≈ 2π (0,316)
≈ 1,99 ثانية

إذن، فإن دورة البندول تبلغ حوالي 2,0 ثانية.

7. بينوتوب

التذبذب التوافقي البسيط حركة دورية أساسية في الفيزياء. يكمن مفتاح فهمه في العلاقة بين قوة الإرجاع والإزاحة (ق = -ك س)، ونموذجه الرياضي الذي يتبع دالة الجيب/جيب التمام. بفهم صيغ دورة الزنبرك والبندول، ومعادلات الإزاحة والسرعة والتسارع، ومفهوم الطاقة، ستجد أنه من الأسهل حل المسائل المتعلقة بالاهتزازات والأمواج.

إذا رغبت، يمكنني إضافة أسئلة تدريبية إضافية (بدون مناقشة مسبقة) أو إنشاء نسخة مختصرة من الصيغ جاهزة للامتحان.