الديناميكا الدورانية

الديناميكا الدورانية فرع من فروع الميكانيكا يدرس الحركة الدورانية التي تشمل القوى والكتل وعوامل أخرى تؤثر عليها. يدور الجسم إذا تحركت جميع أجزائه حول محور أو نقطة ارتكاز تقع على أحد أجزائه. تركز دراسة الحركة الدورانية في هذا الموضوع على الحركة حول محور ثابت. من أمثلة الحركة الدورانية حول محور ثابت: حركة البكرة، والمروحة، وقرص CD/DVD في غرفة مخصصة له، وحركة الباب أو النافذة، وحركة أسطوانة المحرك، ومروحة الطائرة أو المروحية، ومروحة السفينة. هل سبق لك أن شاهدت دولابًا يدور؟ يتغير موضع محور دوران الدولاب باستمرار (ميل الدولاب يميل إلى التغير)، لذا فإن الحركة الدورانية التي يتعرض لها الدولاب لا تُدرس في هذا الموضوع.

في ديناميكا الجسيمات، يُعتبر الجسم المتحرك حركة انتقالية جسيمًا أو نقطة واحدة. بغض النظر عن حجم الجسم أو مدى تعقيد شكله، يُعتبر نقطة واحدة. أما في ديناميكا الدوران، فلا يُعتبر الجسم نقطة واحدة، ولكن يُنظر إليه على هذا النحو بافتراض ثبات شكله وحجمه. إذا كان الجسم الذي يُعتبر جسيمًا يتكون من نقطة واحدة، فإن الجسم الذي يُعتبر جسمًا صلبًا يتكون من جسيمات متعددة، حيث يظل موضع كل جسيم ثابتًا والمسافة بينها ثابتة.

مثال على المشكلات

1. يوضح الشكل بكرة مصنوعة من مادة صلبة ملفوف حول جانبها الخارجي حبل. تم إهمال احتكاك البكرة. إذا كان عزم القصور الذاتي للبكرة I = β، وتم سحب الحبل بقوة ثابتة F، فإن قيمة F تساوي...

أ. F = α . β . R
ب. F = α . β 2 . R
ج. F = α . (β . R)^-1
د. F = α . β . (R)^-1
E. F = R . (α . β)^-1

مناقشة
من المعروف أن:
قوة السحب = ق
عزم القصور الذاتي للبكرة = β
التسارع الزاوي للبكرة = α
نصف قطر البكرة = R
السؤال: قيمة F تعادل….
الجواب:

قانون نيوتن الثاني للحركة الدورانية:
عزم القوة الناتج المؤثر على البكرة:
الإجابة الصحيحة هي د.

2. قضيب طوله 6 أمتار وكتلته مهملة، تؤثر عليه ثلاث قوى كما هو موضح في الشكل. مقدار عزم القوة المؤثرة على القضيب عند دورانه حول مركز كتلته عند النقطة O هو...

أ. ف

ب. 3F

ج. 4 ف

د. 5F

E. 6F

مناقشة

من المعروف أن:

محور الدوران يقع عند النقطة O.

القوة 1 (F ₁ ) = F

المسافة بين نقطة العمل F1 _ومحور الدوران (r1 ₎ = 3 متر

القوة 2 (F ₂ ) = 2F

المسافة بين نقطة العمل F2 _ومحور الدوران (r2 ₎ = 2 متر

القوة 3 (F ₃ ) = 2F

المسافة بين نقطة العمل F3 _ومحور الدوران (r3 ₎ = 3 متر

السؤال: ما مقدار عزم القوة المؤثرة على القضيب عندما يدور حول مركز كتلته عند النقطة O؟

الجواب:

عزم القوة 1:

τ ₁ = F ₁ r ₁ = (F)(3) = -3F

عزم القوة 1 يتسبب في دوران القضيب في اتجاه عقارب الساعة بحيث يكون لعزم القوة 1 إشارة سالبة.

عزم القوة 2:

τ ₂ = F ₂ r ₂ = (2F)(2) = 4F

يتسبب عزم القوة 2 في دوران القضيب عكس اتجاه عقارب الساعة بحيث يكون لعزم القوة 2 إشارة موجبة.

عزم القوة 3:

τ ₃ = F ₃ r ₃ sin 30 ^o = (2F)(3)(0,5) = 3F

يتسبب عزم القوة 3 في دوران القضيب عكس اتجاه عقارب الساعة بحيث يكون لعزم القوة 3 إشارة موجبة.

عزم القوة الناتج:

Στ = τ ₁ + τ ₂ + τ ₃

Στ = -3F + 4F + 3F

Στ = 4F

مقدار عزم القوة هو 4F نيوتن متر. عزم القوة الموجب يعني أن القضيب يدور عكس اتجاه عقارب الساعة.

الإجابة الصحيحة هي ج.

3. انظر إلى الصورة!

إذا تم إهمال كتلة القضيب AC، و α = 30 ^درجة ، وطول AB = BC = 1 متر، فإن عزم القوة للنظام الذي يقع محوره عند النقطة A هو...

و10√3 نيوتن متر باتجاه عقارب الساعة

ب. 10 √3 نيوتن متر عكس اتجاه عقارب الساعة

ج. 20 نيوتن متر باتجاه عقارب الساعة

د. 20 √3 نيوتن متر عكس اتجاه عقارب الساعة

هـ. 20 √3 نيوتن متر باتجاه عقارب الساعة

مناقشة

من المعروف أن:

محور الدوران يقع عند النقطة أ.

القوة 1 (F ₁ ) = 10 نيوتن

المسافة بين نقطة العمل F1 _ومحور الدوران (r1 ₎ = 1 متر

القوة 2 (F ₂ ) = 10 نيوتن

المسافة بين نقطة العمل F2 _ومحور الدوران (r2 ₎ = 1 متر

القوة 3 (F ₃ ) = 20 نيوتن

المسافة بين نقطة العمل F3 _ومحور الدوران (r3 ₎ = 2 متر

السؤال: عزم قوة النظام الذي يقع محوره عند النقطة أ

الجواب:

عزم القوة 1:

τ ₁ = F ₁ r ₁ sin 30 ^o = (10)(1)(0,5) = 5 نيوتن متر

يتسبب عزم القوة 1 في دوران القضيب عكس اتجاه عقارب الساعة بحيث يكون لعزم القوة 1 إشارة موجبة.

عزم القوة 2:

τ² ₌ F²r² sin 30 _{° = (10} ⁾ (1) ( 0,5) ₌ -5 نيوتن متر

عزم القوة 2 يتسبب في دوران القضيب في اتجاه عقارب الساعة بحيث يكون لعزم القوة 2 إشارة سالبة.

عزم القوة 3:

τ ₃ = F ₃ r ₃ sin 60 ^o = (20)(2)(0,5 √3 ) = -20 √3 نيوتن متر

عزم القوة 2 يتسبب في دوران القضيب في اتجاه عقارب الساعة بحيث يكون لعزم القوة 2 إشارة سالبة.

عزم القوة الناتج:

Στ = τ ₁ + τ ₂ + τ ₃

Στ = 5 – 5 – 20 √3

Στ = – 20 √3 نيوتن متر

مقدار عزم القوة هو 20√3 نيوتن متر . عزم القوة السالب يعني أن القضيب يدور في اتجاه عقارب الساعة.

الإجابة الصحيحة هي هـ.

4. انظر إلى الصورة الموجودة على الجانب!

بكرة مصنوعة من مادة صلبة (I = 2/5 MR² ⁾ كتلتها 2 كجم. إذا كان عزم القوة المؤثر على البكرة 4 نيوتن متر، فإن التسارع الخطي للبكرة هو... (g = 10 م/ ^ث² )

أ. 50 مللي ثانية ^-2

ب. 25 مللي ثانية ^-2

ج. 20 مللي ثانية ^-2

د. 16 م ^/ث

هـ. 8 مللي ثانية ^-2

مناقشة

من المعروف أن:

عزم القصور الذاتي للبكرة الصلبة (I) = 2/5 MR ²

كتلة البكرة (M) = 2 كجم

عزم القوة ( τ) = 4 نيوتن متر

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م/ ^ث²

نصف قطر البكرة (R) = 20 سم = 0,2 م

السؤال: التسارع الخطي (أ)

الجواب:

احسب عزم القصور الذاتي للبكرة (I):

I = 2/5 MR² ⁼ 2/5 (2)(0,2) ^² = 2/5 (2)(0,04) = 2/5 (0,08) = 0,16/5 = 0,032 كجم/ ^م²

احسب التسارع الزاوي ( α):

τ = I α

α = τ/I = 4/0,032 = 125 rad.s ^-2

احسب التسارع الخطي (a):

a = R α = (0,2)( 125) = 25 م/ ^ث²

التسارع الخطي لحافة البكرة هو 25 م/ ^ث².

الإجابة الصحيحة هي ب.

٥. انظر إلى الصورة الجانبية! تدور بكرة كرة صلبة بتسارع ٢ م/ ^ث² ، إذا كانت قيمة g تساوي ١٠ م/ ^ث² ، فإن عزم القصور الذاتي للبكرة هو ....

أ. 1,0 كجم.م²

ب. 0,8 كجم/ ^م²

ج. 0,6 كجم/ ^م²

د. 0,2 كجم/ ^م²

هـ. 0,1 كجم/ ^م²

مناقشة

من المعروف أن:

التسارع الخطي لحافة البكرة (a) = 2 م/ ^ث²

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م/ ^ث²

نصف قطر البكرة (R) = 10 سم = 0,1 م

وزن الحمل (w) = mg = (4)(10) = 40 نيوتن

السؤال: عزم القصور الذاتي للبكرة

الجواب:

احسب عزم القوة ( τ):

τ = FR = w R = (40)(0,1) = 4 نيوتن متر

احسب التسارع الزاوي للبكرة ( α ):

أ = ر α

α = أ/ر = 2/0,1 = 20 راد.س ^-2

احسب عزم القصور الذاتي للبكرة (I):

τ = I α

أنا = τ/ α = 4/20 = 0,2 كجم م ²

الإجابة الصحيحة هي د.

6. انظر إلى الصورة الموجودة على الجانب!

يتم سحب البكرة بحيث تتحرك بتسارع مقداره 1 م/ ^ث² . إذا كان نصف قطر البكرة 10 سم، فإن عزم القصور الذاتي للبكرة هو...

أ. 4,00 كجم.م²

ب. 2,00 كجم/ ^م²

ج. 0,04 كجم/ ^م²

د. 0,02 كجم/ ^م²

هـ. 0,01 كجم/ ^م²

مناقشة

من المعروف أن:

التسارع الخطي لحافة البكرة (a) = 1 م/ ^ث²

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م/ ^ث²

نصف قطر البكرة (R) = 10 سم = 0,1 م

قوة الشد (F) = 4 نيوتن

السؤال: عزم القصور الذاتي للبكرة

الجواب:

احسب عزم القوة ( τ):

τ = FR = (4)(0,1) = 0,4 نيوتن متر

احسب التسارع الزاوي للبكرة ( α ):

أ = ر α

α = أ/ر = 1/0,1 = 10 راد.س ^-2

احسب عزم القصور الذاتي للبكرة (I):

τ = I α

أنا = τ/ α = 0,4/10 = 0,04 كجم م ²

الإجابة الصحيحة هي ج.

7. بكرة قرصية صلبة كتلتها 1 كجم ونصف قطرها 10 سم، ملفوف حول حافتها حبل، ومعلق في أحد طرفي الحبل وزن مقداره 1 كجم. بافتراض أن الحبل عديم الكتلة، فإن تسارع حركة الحمل لأسفل هو... (g = 10 م/ث²)²)
أ. 10 م/ث²
ب. 12 م/ث²
ج. 15 م/ث²
د. 20 م/ث²
هـ. 22 م/ث²مناقشة :
من المعروف أن:
F = w = mg = (1 كجم)(10 م/ث²) = 10 نيوتن
نصف القطر = 0,1 متر
سأل:
تسريع حركة الحمل
الجواب:
هيتونج عزم القصور الذاتي دان لحظة أناقة تيرليبيه داهولو.

الإجابة الصحيحة هي د.

٨. بكرة قرصية صلبة كتلتها ٢M ونصف قطرها R، ملفوفة حول حافتها بحبل، ومعلقة بحمل كتلته m في أحد طرفي الحبل. عند إفلات الحمل، تدور البكرة بتسارع زاوي مقداره . إذا تم تعليق جسم كتلته M بالبكرة، فلكي تدور البكرة بنفس التسارع الزاوي، يجب أن تكون كتلة الحمل... (كتلة البكرة = ½ mr²²).
أ. ¾ م كجم
ب. 3/2 م كجم
ج. 2 م كجم
د. 3 م كجم
هـ. 4 م كجم

مناقشة :
من المعروف أن:
كتلة بكرة القرص الصلب: 2M
نصف قطر بكرة القرص الصلب: R
كتلة الحمل: م
سأل :
كتلة الحمولة؟
الجواب:

احسب عزم القصور الذاتي لبكرة قرصية صلبة، قبل وبعد تعليق جسم كتلته M عليها:
عزم القصور الذاتي 1: I = ½ mr² = ½ (2M)(R)² = MR²
عزم القصور الذاتي 2: I = ½ mr² = ½ (2M + M)(R)² = ½ (3M)(R)² = 1,5 MR²

مصدر السؤال:

أسئلة امتحان الفيزياء الوطني لطلاب المرحلة الثانوية العليا/المهنية