أسئلة نموذجية ومناقشة حول المتجهات ثلاثية الأبعاد في نظام الإحداثيات الديكارتية
تُعدّ المتجهات ثلاثية الأبعاد مفهومًا هامًا في الرياضيات والفيزياء، وتُستخدم غالبًا لتمثيل الأجسام أو الظواهر في الفضاء ثلاثي الأبعاد. في نظام الإحداثيات الديكارتية، تُمثَّل هذه المتجهات بثلاثة مركبات، يُرمز لها عادةً بـ (x, y, z). ستتناول هذه المقالة عدة أمثلة وحلول تتعلق بالمتجهات ثلاثية الأبعاد في نظام الإحداثيات الديكارتية.
فهم المتجهات ثلاثية الأبعاد
يمكن التعبير عن متجه في الفضاء ثلاثي الأبعاد على النحو التالي: \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\), حيث:
- \(A_x\) هو مركبة المتجه على طول المحور السيني.
- يمثل \(A_y\) مركبة المتجه على طول المحور y.
- يمثل \(A_z\) مركبة المتجه على طول المحور z.
Contoh Soal dan Pembahasan
السؤال 1: عملية جمع المتجهات
بفرض وجود متجهين، \(\mathbf{A} = (2, -3, 4)\) و \(\mathbf{B} = (-1, 5, 2)\). احسب مجموع هذين المتجهين.
مناقشة:
يتم جمع متجهين \(\mathbf{A}\) و \(\mathbf{B}\) عن طريق جمع مركباتهما المتناظرة. لذا، لدينا:
\[
\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = (A_x + B_x، A_y + B_y، A_z + B_z)
\]
استبدل قيم المتجه المعطاة:
\[
\mathbf{C} = (2 + (-1)، -3 + 5، 4 + 2) = (1، 2، 6)
\]
إذن، نتيجة جمع المتجهين \(\mathbf{A}\) و \(\mathbf{B}\) هي \(\mathbf{C} = (1, 2, 6)\).
السؤال الثاني: عملية طرح المتجهات
بفرض وجود متجهين، \(\mathbf{A} = (4, 1, -2)\) و \(\mathbf{B} = (5, -3, 6)\). احسب ناتج طرح هذين المتجهين، أي \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\).
مناقشة:
يتم طرح متجهين \(\mathbf{A}\) و \(\mathbf{B}\) عن طريق طرح مركباتهما المتناظرة. لذا، لدينا:
\[
\mathbf{D} = \mathbf{A} – \mathbf{B} = (A_x – B_x، A_y – B_y، A_z – B_z)
\]
استبدل قيم المتجه المعطاة:
\[
\mathbf{D} = (4 - 5، 1 - (-3)، -2 - 6) = (-1، 4، -8)
\]
إذن، نتيجة طرح المتجهين \(\mathbf{A}\) و \(\mathbf{B}\) هي \(\mathbf{D} = (-1, 4, -8)\).
السؤال 3: عملية الضرب القياسي
بفرض وجود متجه \(\mathbf{A} = (3, -2, 7)\) وعدد قياسي \(k = 4\)، احسب حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين.
مناقشة:
يتم ضرب كمية قياسية \(k\) في متجه \(\mathbf{A}\) بضرب كل عنصر من عناصر المتجه في تلك الكمية القياسية. وبالتالي، لدينا:
\[
\mathbf{E} = k \cdot \mathbf{A} = k \cdot (A_x, A_y, A_z) = (k \cdot A_x, k \cdot A_y, k \cdot A_z)
\]
استبدل القيم المعطاة:
\[
\mathbf{E} = 4 \cdot (3, -2, 7) = (4 \cdot 3, 4 \cdot -2, 4 \cdot 7) = (12, -8, 28)
\]
إذن، نتيجة ضرب العدد القياسي \(k\) بالمتجه \(\mathbf{A}\) هي \(\mathbf{E} = (12, -8, 28)\).
السؤال الرابع: طول المتجه
احسب طول (مقدار) المتجه \(\mathbf{A} = (1, 2, 2)\).
مناقشة:
يمكن حساب طول أو مقدار المتجه \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) باستخدام الصيغة التالية:
\[
|\mathbf{أ}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}
\]
استبدل القيم المعطاة:
\[
|\mathbf{أ}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
\]
إذن، طول المتجه \(\mathbf{A}\) هو 3.
السؤال 5: الضرب النقطي
بفرض وجود متجهين، \(\mathbf{A} = (1, 0, -1)\) و \(\mathbf{B} = (2, 3, 4)\). احسب حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين.
مناقشة:
يُحسب حاصل الضرب القياسي لمتجهين \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) و \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) بضرب مركباتهما المتناظرة ثم جمعها. وبالتالي، نحصل على:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z
\]
استبدل القيم المعطاة:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (1 \cdot 2) + (0 \cdot 3) + (-1 \cdot 4) = 2 + 0 – 4 = -2
\]
إذن، فإن حاصل الضرب النقطي للمتجهين \(\mathbf{A}\) و \(\mathbf{B}\) هو -2.
السؤال 6: الضرب الاتجاهي
بفرض وجود متجهين، \(\mathbf{A} = (1, 2, 3)\) و \(\mathbf{B} = (4, 5, 6)\). احسب حاصل الضرب الاتجاهي لهذين المتجهين.
مناقشة:
يتم حساب الضرب الاتجاهي لمتجهين \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) و \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) باستخدام الصيغة التالية:
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( (A_y \cdot B_z – A_z \cdot B_y), (A_z \cdot B_x – A_x \cdot B_z), (A_x \cdot B_y – A_y \cdot B_x) \right)
\]
استبدل القيم المعطاة:
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5), (3 \cdot 4 – 1 \cdot 6), (1 \cdot 5 – 2 \cdot 4) \right) = (12 – 15, 12 – 6, 5 – 8) = (-3, 6, -3)
\]
إذن، فإن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين \(\mathbf{A}\) و \(\mathbf{B}\) هو \(\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (-3, 6, -3)\).
استنتاج
تُعدّ المتجهات ثلاثية الأبعاد في نظام الإحداثيات الديكارتية أدوات أساسية في مختلف مجالات العلوم والهندسة. من خلال الأمثلة والمناقشات السابقة، رأينا كيفية إجراء عمليات أساسية متنوعة على المتجهات، كالجمع والطرح والضرب القياسي والضرب القياسي والضرب الاتجاهي. إنّ الفهم العميق لهذه المفاهيم لا يُقدّر بثمن، ليس فقط في الرياضيات، بل أيضاً في التطبيقات العملية في الفيزياء والهندسة وعلوم الحاسوب.
