مثال على سؤال نقاشي حول مشتقة دالة جبرية
المشتقة في حساب التفاضل والتكامل مفهوم أساسي يُستخدم لوصف كيفية تغير الدالة، أو ميل الدالة عند نقطة معينة. للمشتقات أهمية بالغة في مجالات متنوعة كالفيزياء والاقتصاد والهندسة، لأنها توفر معلومات حول معدل التغير. في هذه المقالة، سنناقش عدة أمثلة على مشتقات الدوال الجبرية وكيفية حلها.
مثال 1: مشتقة دالة كثيرة الحدود
السؤال: إذا كانت الدالة \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \)، فما هي مشتقة هذه الدالة؟
حل:
باستخدام القاعدة الأساسية للمشتقات للدوال متعددة الحدود، وهي \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \)، سنقوم بحساب مشتقة كل حد من حدود الدالة واحدًا تلو الآخر.
\[
\begin{align }
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) &= 3 \cdot 3x^{3-1} – 5 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) &= 9x^2 – 10x + 2.
\end{align }
\]
إذن، مشتقة \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) هي \( f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \).
مثال 2: مشتقة دالة ذات أسس كسرية
السؤال: حدد مشتقة الدالة \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \).
حل:
باستخدام نفس قاعدة الاشتقاق، أي \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{align }
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{align }
\]
إذن، مشتقة \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) هي \( g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
مثال 3: مشتقات الدوال الأسية والمثلثية
السؤال: حدد مشتقة الدالة \( h(x) = e^x \cdot \sin(x) \).
حل:
لحل هذه المشتقة، نحتاج إلى قاعدة الضرب، التي تنص على أن \((uv)' = u'v + uv'\). لنفترض أن \( u(x) = e^x \) و \( v(x) = \sin(x) \)، إذن:
\[
\begin{align }
u'(x) &= e^x, & \text{لأن مشتقة } e^x \text{ هي } e^x \\
v'(x) &= \cos(x), & \text{لأن مشتقة } \sin(x) \text{ هي } \cos(x).
\end{align }
\]
باستخدام القاعدة المشتقة للمنتجات:
\[
\begin{align }
h'(x) &= (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x \cdot (\sin(x))' + \sin(x) \cdot (e^x)' \\
&= e^x \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot e^x \\
&= e^x (\cos(x) + \sin(x)).
\end{align }
\]
إذن، مشتقة \( h(x) = e^x \sin(x) \) هي \( h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \).
مثال 4: مشتقة دالة باستخدام قاعدة السلسلة
السؤال: حدد مشتقة الدالة \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \).
حل:
لحل هذه المشتقة، نحتاج إلى قاعدة السلسلة، وهي: \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). لنفترض أن \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) و \( f(u) = u^5 \)، إذن:
\[
\begin{align }
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \text{so} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{align }
\]
باستخدام قاعدة السلسلة:
\[
\begin{align }
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{align }
\]
إذن، مشتقة \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) هي \( k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \).
مثال 5: مشتقة دالة باستخدام المتطابقات المثلثية
السؤال: حدد مشتقة الدالة \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \).
حل:
سنستخدم قاعدة الاشتقاق للضرب. لنفترض أن \( u(x) = \sin(x) \) و \( v(x) = \cos(x) \)، إذن:
\[
\begin{align }
u'(x) &= \cos(x), \\
v'(x) &= -\sin(x).
\end{align }
\]
باستخدام القاعدة المشتقة للمنتجات:
\[
\begin{align }
m'(x) &= (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\
&= (\sin(x))' \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (\cos(x))' \\
&= \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \\
&= \cos^2(x) – \sin^2(x).
\end{align }
\]
باستخدام المتطابقة المثلثية \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = \cos(2x).
\]
إذن، مشتقة \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) هي \( m'(x) = \cos(2x) \).
استنتاج
يُعدّ اشتقاق الدوال الجبرية مفهومًا أساسيًا في حساب التفاضل والتكامل، وهو بالغ الأهمية والفائدة في تطبيقات متنوعة. وتُسهم قواعد الاشتقاق المختلفة، كقاعدة الاشتقاق الأساسية، وقاعدة الضرب، وقاعدة السلسلة، وقواعد الاشتقاق المثلثي، في حساب مشتقات الدوال الأكثر تعقيدًا. ومن خلال فهم الأمثلة المذكورة أعلاه وحلّ المسائل، يُمكننا تحسين فهمنا ومهاراتنا في اشتقاق الدوال الجبرية.
