مثال على سؤال يناقش جمع متجهين باستخدام طريقة متوازي الأضلاع
يُعدّ جمع المتجهات مفهومًا أساسيًا في الفيزياء والرياضيات، ويُستخدم غالبًا لوصف الظواهر الطبيعية ومشاكل الحياة اليومية. توجد عدة طرق لجمع متجهين، إحداها طريقة متوازي الأضلاع. لا تتميز هذه الطريقة بسهولة فهمها فحسب، بل تُقدّم أيضًا تصورًا بصريًا قويًا لكيفية اندماج متجهين لتكوين متجه محصل. في هذه المقالة، سنستعرض عدة أمثلة على جمع المتجهات باستخدام طريقة متوازي الأضلاع، بالإضافة إلى حلولها.
ما هو المتجه؟
قبل الخوض في الأمثلة، نحتاج إلى فهم التعريف الأساسي للمتجه. المتجه كمية لها مقدار (طول) واتجاه. من الأمثلة الكلاسيكية للمتجهات: السرعة، والتسارع، والقوة، والإزاحة. يمكن تمثيل المتجه بمكوناته (i، j، k) في الإحداثيات الديكارتية، أو بطوله واتجاهه (زاويته).
طريقة متوازي الأضلاع
طريقة متوازي الأضلاع هي إحدى طرق جمع متجهين. في هذه الطريقة، نمثل المتجهين بضلعين من متوازي أضلاع. المتجه الناتج هو قطر متوازي الأضلاع الذي يبدأ من نقطة بداية المتجهين. رياضياً، إذا كان لدينا متجهان \(\vec{A}\) و \(\vec{B}\)، فإن المحصلة هي \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \).
فيما يلي الخطوات التفصيلية لاستخدام طريقة متوازي الأضلاع:
1. ارسم المتجه \(\vec{A}\) من نقطة البداية.
2. من نهاية المتجه \(\vec{A}\)، ارسم المتجه \(\vec{B}\).
3. ارسم خطًا موازيًا للمتجه \(\vec{B}\) من نقطة البداية \(\vec{A}\).
4. ارسم خطًا موازيًا للمتجه \(\vec{A}\) من نهاية المتجه \(\vec{B}\).
5. ارسم قطراً من نقطة البداية إلى الزاوية المقابلة للحصول على المتجه الناتج \(\vec{R}\).
Contoh Soal dan Pembahasan
السؤال 1
لنفترض أن لدينا متجهين \(\vec{A}\) و \(\vec{B}\):
- يبلغ طول (مقدار) المتجه \(\vec{A}\) 5 وحدات واتجاهه 0° (أو على طول المحور السيني الموجب)،
- \(\vec{B}\) طوله 3 وحدات واتجاهه 90 درجة (أو على طول المحور y الموجب).
ما هي القيمة الناتجة عن جمع هذين المتجهين باستخدام طريقة متوازي الأضلاع؟
مناقشة:
1. ارسم المتجه \(\vec{A}\) على طول المحور السيني الموجب بطول 5 وحدات.
2. من نهاية المتجه \(\vec{A}\)، ارسم المتجه \(\vec{B}\) على طول المحور y الموجب بطول 3 وحدات.
3. من نقطة البداية \(\vec{A}\)، ارسم خطًا موازيًا لـ \(\vec{B}\).
4. من نهاية \(\vec{B}\)، ارسم خطًا موازيًا لـ \(\vec{A}\).
5. والنتيجة هي متوازي أضلاع بقطر هو المتجه الناتج \(\vec{R}\).
بما أن \(\vec{A}\) و \(\vec{B}\) متعامدان على بعضهما البعض، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لحساب طول المتجه الناتج:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83 \]
يمكن حساب اتجاه المتجه المحصل باستخدام حساب المثلثات. إذا كانت θ هي الزاوية بين المتجه المحصل والمتجه A:
\[ \tan(\theta) = \frac{B}{A} = \frac{3}{5} \]
لذا:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
وبالتالي، فإن المتجه الناتج \(\vec{R}\) له مقدار يبلغ حوالي 5.83 وحدة واتجاه يبلغ حوالي 30.96 درجة من \(\vec{A}\).
السؤال 2
يُعطى المتجهان \(\vec{C}\) و \(\vec{D}\) على النحو التالي:
– \(\vec{C}\) بطول 4 وحدات واتجاه 45 درجة.
– \(\vec{D}\) بطول 6 وحدات واتجاه 120 درجة.
حدد المتجه الناتج \(\vec{R}\) من جمع المتجهين.
مناقشة:
لإضافة متجهين غير متعامدين مع بعضهما البعض أو بأشكال مختلفة، يمكنك استخدام المكونات الديكارتية.
1. قم بتقسيم \(\vec{C}\) و \(\vec{D}\) إلى مكونات x و y.
لـ \(\vec{C}\):
\[ C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
\[ C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
لـ \(\vec{D}\):
\[ D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[ D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.20 \]
2. اجمع مركبتي x و y لكلا المتجهين:
\[ R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[ R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]
3. احسب مقدار واتجاه المتجه المحصل \(\vec{R}\):
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \approx 8.03 \]
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{8.03}{-0.17}\right) \approx \tan^{-1}(-47.24) \]
بما أن النتيجة سالبة، فإننا نضيف 180 درجة للحصول على الزاوية في نظام الأرباع الصحيح:
\[ \theta \approx \tan^{-1}(47.24) + 180^\circ \approx 271.93^\circ \]
إذن، فإن المتجه الناتج \(\vec{R}\) له مقدار يبلغ حوالي 8.03 وحدة واتجاه يبلغ حوالي 271.93 درجة، أو يمكننا القول حوالي 91.93 درجة من المحور السيني السالب في الربع الرابع.
غطاء
تُعدّ طريقة متوازي الأضلاع وسيلة فعّالة ومرئية لجمع متجهين. ورغم بساطة هذه الطريقة في حالة المتجهات البسيطة، إلا أنه من المهم فهم أنه في حالة المتجهات الأكثر تعقيدًا، غالبًا ما نحتاج إلى استخدام المركبات الديكارتية وتقنيات جبرية متقدمة للحصول على نتائج دقيقة. نأمل أن تُقدّم الأمثلة السابقة صورة واضحة لكيفية تطبيق هذه الطريقة في مختلف الحالات.
