أمثلة على الأسئلة ومناقشة تطبيق التكاملات في حساب مساحة المستوى المسطح
في تدريس الرياضيات، تُصادف التكاملات بكثرة في حساب التفاضل والتكامل. ومن أشهر تطبيقات التكاملات حساب المساحة تحت منحنى أو مستوى. ستتناول هذه المقالة عدة أمثلة تطبيقية، بالإضافة إلى شرح استخدام التكاملات في حساب مساحة المستوى.
مقدمة في النظرية
قبل الانتقال إلى مثال المسألة، دعونا نراجع المفهوم الأساسي لحساب المساحة تحت منحنى باستخدام التكاملات. إذا كانت لدينا دالة f(x) متصلة على الفترة [a, b]، فإن المساحة تحت المنحنى y = f(x) من x = a إلى x = b هي:
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
هندسياً، هذا يعني أننا نجمع مساحة مستطيل رقيق جداً من x = a إلى x = b.
مثال على السؤال 1
سوال
احسب المساحة تحت المنحنى y = x² في الفترة [1، 3].
مناقشة
لحساب المساحة، نستخدم التكامل التالي:
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
نبدأ بإيجاد الدالة الأصلية لـ \( x^2 \). الدالة الأصلية لـ \( x^2 \) هي \( \frac{x^3}{3} \). ثم يصبح التكامل كالتالي:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
تذكر أنه يتعين علينا حساب قيمة الدالة الأصلية على حدود التكامل:
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \left( \frac{27}{3} \right) – \left( \frac{1}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
إذن، المساحة تحت المنحنى y = x² من x = 1 إلى x = 3 هي:
\[ \frac{26}{3} \, \text{وحدة مساحة} \]
مثال على السؤال 2
سوال
حدد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنى y = x³ والمستقيمين x = 1 و x = 2.
مناقشة
لحساب المساحة، نستخدم التكامل التالي:
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
كالعادة، نبدأ بإيجاد الدالة الأصلية لـ \( x^3 \). الدالة الأصلية لـ \( x^3 \) هي \( \frac{x^4}{4} \). يصبح التكامل كالتالي:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
احسب حدود التكامل:
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \left( \frac{16}{4} \right) – \left( \frac{1}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
إذن، المساحة تحت المنحنى y = x³ من x = 1 إلى x = 2 هي:
\[ \frac{15}{4} \, \text{وحدة مساحة} \]
مثال على السؤال 3
سوال
حدد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين y = x² + 1 و y = 2x + 2 في الفترة من x = 0 إلى x = 1.
مناقشة
أولًا، نحتاج إلى إيجاد نقاط التقاطع لتحديد حدود التكامل. حل المعادلة (x² + 1 = 2x + 2):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
باستخدام الصيغة التربيعية:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
مع ذلك، بالنسبة للحدين الأعلى والأدنى بين 0 و1، لا نحتاج إلى استخدام الحل التربيعي، بل يكفي استخدام النهاية التكاملية العادية من 0 إلى 1. بعد ذلك، احسب مساحة منحنى y العلوي مطروحًا منها مساحة منحنى y السفلي وفقًا لهذين الحدين:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
تبسيط الدالة:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
بعد ذلك، نجد الدالة الأصلية:
الدالة الأصلية لـ \( (-x^2) \) هي \( -\frac{x^3}{3} \),
الدالة الأصلية لـ \( (2x) \) هي \( x^2 \),
الدالة الأصلية لـ \( (1) \) هي \( x \).
لهذا السبب،
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
التقييم التالي:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
إذن، مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين y = x² + 1 و y = 2x + 2 على الفترة [0, 1] هي:
\[ \frac{5}{3} \, \text{وحدة مساحة} \]
-
من الأمثلة السابقة، يتضح لنا كيف يمكن استخدام التكاملات لحساب المساحة تحت منحنى أو بين منحنيين. بفهمٍ صحيح للمفاهيم الأساسية للتكاملات وتقنيات التكامل العكسي، يصبح حساب هذه المساحات منهجياً وفعالاً للغاية. نأمل أن تكون هذه المقالة قد ساهمت في تعزيز فهمنا لتطبيقات التكاملات في الواقع العملي، ولا سيما في مجال قياس مساحة الأسطح المستوية.
