أسئلة نموذجية ومناقشة حول الاضمحلال الأسي
يُعدّ التضاؤل الأسي ظاهرة طبيعية موجودة في العديد من المجالات، مثل الفيزياء والكيمياء والأحياء والاقتصاد. ويصف التضاؤل الأسي، كنموذج رياضي، العملية التي تتناقص فيها كمية معينة تناسبياً مع قيمتها الحالية. وفي الرياضيات، يتبع التضاؤل الأسي الشكل العام التالي:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
أين:
- يمثل \( N(t) \) الكمية المتبقية عند الزمن \( t \)،
- يمثل \( N_0 \) العدد الأولي،
- \( \lambda \) هو ثابت الاضمحلال (يُسمى غالبًا معدل الاضمحلال)،
- يمثل \( t \) الزمن،
- \( e \) هو أساس اللوغاريتم الطبيعي (حوالي 2.718).
سنناقش في هذه المقالة بعض الأمثلة على مشاكل الاضمحلال الأسي إلى جانب حلولها للمساعدة في فهم هذا المفهوم بشكل أعمق.
مثال على السؤال 1: التحلل الإشعاعي
سؤال:
مادة مشعة لها عمر نصف يبلغ 5 سنوات. إذا كانت الكمية الأولية للمادة 100 غرام، فكم ستتبقى منها بعد 15 سنة؟
مناقشة:
يمكن نمذجة الاضمحلال الإشعاعي باستخدام صيغة الاضمحلال الأسي. يُعرف نصف العمر (t₁/₂) بأنه الزمن اللازم لاضمحلال نصف كمية المادة المشعة. ومن المعروف أن t₁/₂ = 5 سنوات.
أولاً، نحتاج إلى إيجاد ثابت الاضمحلال \( \lambda \) باستخدام الصيغة التالية:
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{5} \approx 0.1386 \text{ year}^{-1} \]
وبالتالي، فإن صيغة الاضمحلال الأسي هي:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[ N(t) = 100 e^{-0.1386 \times 15} \]
والآن، نحسب القيمة:
\[ N(t) = 100 e^{-2.079} \]
\[ N(t) = 100 \times 0.125 \]
\[ N(t) \approx 12.5 \text{ غرام} \]
إذن، بعد مرور 15 عامًا، تبقى حوالي 12.5 جرامًا من المواد المشعة.
المثال 2: اضمحلال المكثف
سؤال:
مكثف ذو شحنة ابتدائية Q₀ = 200 كولوم، يُسمح له بالتفريغ في دائرة كهربائية. ثابت الزمن هو τ = 4 ثوانٍ. ما مقدار الشحنة المتبقية بعد 10 ثوانٍ؟
مناقشة:
في حالة اضمحلال شحنة المكثف، يكون النموذج الأسي المستخدم هو:
\[ Q(t) = Q_0 e^{-t/\tau} \]
بفرض أن \( Q_0 = 200 \text{ C} \) و \( \tau = 4 \text{ s} \). المطلوب إيجاد \( Q(10) \):
\[ Q(10) = 200 e^{-10/4} \]
\[ Q(10) = 200 e^{-2.5} \]
حساب القيم الأسية:
\[ Q(10) = 200 \times 0.0821 \]
\[ Q(10) \approx 16.42 \text{ C} \]
إذن، بعد 10 ثوانٍ، تبلغ الشحنة المتبقية على المكثف حوالي 16.42 كولوم.
مثال السؤال 3: التحلل الكيميائي
سؤال:
مادة كيميائية لها ثابت تحلل مقداره \( \lambda = 0.05 \text{ أيام}^{-1} \). كم من الوقت سيستغرق انخفاض كمية هذه المادة إلى 25% من كميتها الأصلية؟
مناقشة:
نبدأ بالصيغة العامة للاضمحلال الأسي:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
نريد أن تكون قيمة N(t) مساوية لـ 25% من \( N_0 \)، بحيث:
\[ 0.25 N_0 = N_0 e^{-0.05 t} \]
حذف \( N_0 \) من كلا الجانبين:
\[ 0.25 = e^{-0.05 t} \]
استخدام اللوغاريتمات الطبيعية لحل الحالات الأسية:
\[ \ln 0.25 = -0.05 t \]
\[ -1.3863 = -0.05 t \]
إيجاد قيمة \( t \):
\[ t = \frac{1.3863}{0.05} \]
\[ t \approx 27.726 \text{ أيام} \]
لذا فإن الوقت اللازم لانخفاض المادة الكيميائية إلى 25٪ من كميتها الأولية يبلغ حوالي 27.726 يومًا.
مثال السؤال 4: انحلال التجمعات البكتيرية
سؤال:
يتناقص عدد البكتيريا بمعدل أُسّي، بحيث يصبح بعد 3 ساعات نصف عددها الابتدائي. إذا كان العدد الابتدائي 8000 بكتيريا، فكم عدد البكتيريا المتبقية بعد 9 ساعات؟
مناقشة:
من المعروف أن نصف العمر \( t_{1/2} = 3 \) ساعات. أولاً، نجد ثابت الاضمحلال \( \lambda \):
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \]
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231 \text{ ساعة}^{-1} \]
بعد ذلك، نستخدم صيغة الاضمحلال الأسي:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
\[ N(9) = 8000 e^{-0.231 \times 9} \]
حساب القيم الأسية:
\[ N(9) = 8000 e^{-2.079} \]
\[ N(9) = 8000 \times 0.125 \]
\[ N(9) \approx 1000 \]
لذا، بعد 9 ساعات، سيبقى حوالي 1000 بكتيريا.
استنتاج
يُقدّم نموذج الاضمحلال الأسي منهجًا فعالًا لحلّ المسائل المتعلقة بعمليات الاضمحلال في تطبيقات علمية وهندسية متنوعة. من خلال فهم المفاهيم الأساسية، كثوابت الاضمحلال، وفترات نصف العمر، واستخدام الصيغ الأسية، يُمكننا حساب التغير في كمية ما بمرور الوقت بسهولة نسبية. ستساعدنا المسائل التدريبية المذكورة أعلاه على فهم مفهوم الاضمحلال الأسي وتطبيقه على حالات أكثر تعقيدًا.
