مثال على أسئلة المناقشة المركبة
التوافيق مفهومٌ هام في نظرية الاحتمالات والإحصاء، إذ تُمكّننا من حساب عدد طرق اختيار عناصر من مجموعة دون مراعاة الترتيب. في التوافيق، يبقى ترتيب الاختيار ثابتًا، على عكس التباديل حيث يُعدّ ترتيب الاختيار أساسيًا. تُستخدم التوافيق في مجالاتٍ متنوعة، من علوم الحاسوب وعلم الأحياء إلى الاقتصاد والرياضيات. ستشرح هذه المقالة المفهوم الأساسي للتوافيق، وستُقدّم أمثلةً ومناقشاتٍ عديدة لتسهيل فهمك.
المفهوم الأساسي للتركيب
قبل أن ننتقل إلى مسائل الأمثلة، دعونا نبدأ بفهم أساسي للتركيبات.
يُرمز إلى مجموعة \(n\) من العناصر المأخوذة \(r\) في كل مرة بالرمز \(\binom{n}{r}\) أو \(\mathbf{C}(n, r)\). صيغة حساب المجموعة هي:
\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(nr)!} \]
- يمثل \( n \) العدد الإجمالي للأشياء المتاحة.
- يمثل \( r \) عدد العناصر المراد تحديدها.
- ! (المضروب) هي عملية رياضية تضرب عددًا في جميع الأعداد الموجبة التي تقل عنه حتى 1.
Contoh Soal dan Pembahasan
مثال على السؤال 1: اختيار فريق من مجموعة من الطلاب
سؤال:
يوجد 10 طلاب في فصل دراسي. بكم طريقة يمكن اختيار 4 طلاب من هذا الفصل للمشاركة في المسابقة؟
مناقشة:
باستخدام الصيغة المركبة:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]
حساب المضروب:
- \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! \)
– \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
- (6!) موجود بالفعل في الأعلى، لذا يمكنه إلغاء 6! في (10!).
لذا:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]
إذن، هناك 210 طريقة لاختيار 4 طلاب من بين 10 طلاب.
مثال السؤال 2: التوليفات باستخدام مجموعات البطاقات
سؤال:
من بين مجموعة أوراق لعب مكونة من 52 ورقة، كم عدد الطرق الممكنة لاختيار يد بوكر مكونة من 5 أوراق؟
مناقشة:
باستخدام الصيغة المركبة:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot (52-5)!} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} \]
حساب المضروب:
– \( 52! = 52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48 \times 47! \)
– \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
- (47!) موجود بالفعل في الأعلى، لذا يمكنه إلغاء 47! في (52!).
لذا:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{311875200}{120} = 2598960 \]
إذن، هناك 2,598,960 طريقة لاختيار 5 بطاقات من أصل 52 بطاقة.
مثال على السؤال 3: حساب التوليفات لاختيار الفريق الرياضي
سؤال:
يتكون فريق كرة السلة من 15 لاعباً. إذا أراد المدرب اختيار 5 لاعبين كلاعبين أساسيين، فكم عدد الطرق الممكنة لتحقيق ذلك؟
مناقشة:
باستخدام الصيغة المركبة:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15!}{5! \cdot (15-5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} \]
حساب المضروب:
– \( 15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10! \)
– \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
- (10!) موجود بالفعل في الأعلى، لذا يمكنه إلغاء 10! في (15!).
لذا:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{360360}{120} = 3003 \]
إذن، هناك 3,003 طريقة لاختيار 5 لاعبين من بين 15 لاعبًا.
مثال السؤال 4: التركيبات في علم الأحياء
سؤال:
يوجد في الحديقة 8 أنواع مختلفة من الزهور. بكم طريقة يمكن اختيار 3 أنواع من الزهور لعمل باقة زهور؟
مناقشة:
باستخدام الصيغة المركبة:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \]
حساب المضروب:
- (8! = 8 × 7 × 6 × 5!)
– \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
- (5!) موجود بالفعل في الأعلى، لذا يمكنه إلغاء 5! في (8!).
لذا:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56 \]
إذن، هناك 56 طريقة لاختيار 3 أنواع من الزهور من بين 8 أنواع من الزهور.
مثال السؤال 5: الجمع بين العناصر في بناء الفريق
سؤال:
لديك 12 كتاباً مختلفاً على رف الكتب. بكم طريقة يمكنك اختيار 5 كتب من بين الـ 12؟
مناقشة:
باستخدام الصيغة المركبة:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12!}{5! \cdot (12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \]
حساب المضروب:
– \( 12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7! \)
– \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
- (7!) موجود بالفعل في الأعلى، لذا يمكنه إلغاء 7! في (12!).
لذا:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{95040}{120} = 792 \]
إذن، هناك 792 طريقة لاختيار 5 كتب من بين 12 كتابًا.
استنتاج
التوافيق مفهومٌ بالغ الأهمية في مجالاتٍ عديدة، لا سيما عندما نحتاج إلى معرفة عدد طرق اختيار الأشياء دون مراعاة الترتيب. باستخدام صيغة التوافيق الأساسية (√n/r)، يُمكننا حسابها بسرعة وسهولة، شريطة أن نفهم كيفية عمل المضروب. نأمل من خلال الأمثلة السابقة أن نصل إلى فهمٍ أعمق وأوضح للتوافيق. واصل التدرب على مسائل متنوعة لتعزيز فهمك.
