أمثلة على أسئلة تناقش دالة التوزيع ذي الحدين

أسئلة نموذجية تناقش دالة التوزيع ذي الحدين

التوزيع ذو الحدين هو توزيع احتمالي منفصل يصف عدد حالات النجاح في تجربة تتكون من عدد من المحاولات المستقلة ذات نتيجتين محتملتين: النجاح والفشل. تُسمى كل محاولة تجربة، ويُستخدم التوزيع ذو الحدين غالبًا في الحالات التي يكون فيها عدد حالات النجاح عبر عدد من المحاولات المستقلة ذا أهمية. في هذه المقالة، سنناقش المفاهيم الأساسية للتوزيع ذي الحدين ونقدم أمثلة وحلولًا.

المفاهيم الأساسية لدالة التوزيع ذي الحدين

قبل أن نتطرق إلى أسئلة المثال والمناقشة، دعونا نناقش بعض المفاهيم الأساسية المتعلقة بالتوزيع ذي الحدين.

1. التعريف: يتم تعريف التوزيع ذي الحدين على أنه مجموع النجاحات في 'ن' من التجارب المستقلة، حيث يكون لكل تجربة نتيجتان محتملتان: النجاح (باحتمالية p) أو الفشل (باحتمالية q = 1 – p).

2. دالة الاحتمال: دالة الاحتمال للتوزيع ذي الحدين هي:
\[
P(X = ك) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
أين:
- \( P(X = k) \) هو احتمال الحصول على k نجاحات في n محاولة.
- \( \binom{n}{k} \) عبارة عن مجموعة من n خذ k، والتي تُعرف على أنها \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
- \( p \) هو احتمال النجاح في كل محاولة.
- \( (1-p) \) هو احتمال الفشل في كل محاولة.

3. القيمة المتوقعة والتباين:
– القيمة المتوقعة (المتوسط) للتوزيع ذي الحدين هي \( \mu = np \).
– تباين التوزيع ذي الحدين هو \( \sigma^2 = np(1-p) \).

والآن، دعونا نطبق هذه المفاهيم في مثال توضيحي لتوفير فهم أعمق.

مثال السؤال 1: الحسابات الأساسية للتوزيع ذي الحدين

سؤال :
تنتج شركة مكونات إلكترونية باحتمالية 0.95 أن يجتاز كل مكون اختبار الجودة. إذا تم إنتاج 10 مكونات، فاحسب احتمالية اجتياز 8 مكونات فقط لاختبار الجودة.

مناقشة :
يمكننا استخدام صيغة التوزيع ذي الحدين لحل هذه المسألة. أولاً، نحدد المعلمات التالية:
– (ن) (إجمالي عدد المحاولات) = 10
– (عدد النجاحات) = 8
- (احتمالية النجاح) = 0.95
- (احتمالية الفشل) = 1 - 0.95 = 0.05

ثم استبدل هذه القيم في صيغة التوزيع ذي الحدين:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]

أولاً، احسب التركيبة \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]

ثم احسب الاحتمالات \( (0.95)^8 \) و \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 ≈ 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]

وأخيرًا، اضرب كل تلك القيم لتحصل على:
\[
P(X = 8) = 45 × 0.6634 × 0.0025 ≈ 0.0744
\]

لذا فإن احتمال أن تجتاز 8 مكونات من أصل 10 اختبار الجودة هو حوالي 0.0744 أو 7.44٪.

مثال السؤال 2: الاحتمال التراكمي

سؤال :
مع استمرار العمل مع نفس الشركة، احسب احتمال أن تجتاز 9 مكونات على الأقل من أصل 10 اختبار الجودة.

مناقشة :
لحل هذه المسألة، نحتاج إلى حساب الاحتمال التراكمي. احتمال اجتياز 9 مكونات على الأقل من أصل 10 للاختبار يعني أننا نحسب \( P(X \geq 9) \)، والذي يمكن كتابته على النحو التالي:
\[
ف(X \geq 9) = ف(X = 9) + ف(X = 10)
\]

باستخدام صيغة التوزيع ذي الحدين:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]

أولاً، احسب التركيبة لكل حالة:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]

ثم احسب احتمالات \( P(X = 9) \) و \( P(X = 10) \):
\[
احتمال (X = 9) = 10 × (0.95)^9 × 0.05
\]
\[
(0.95)^9 ≈ 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 × 0.6302 × 0.05 ≈ 0.3151
\]

\[
P(X = 10) = 1 × (0.95)^{10} × 1
\]
\[
(0.95)^{10} \approx 0.5987
\]
\[
احتمال (X = 10) = 0.5987
\]

الاحتمال الكلي لـ \( P(X \geq 9) \):
\[
P(X ≥ 9) = 0.3151 + 0.5987 ≈ 0.9138
\]

لذا فإن احتمال أن يجتاز 9 من أصل 10 مكونات على الأقل اختبار الجودة هو حوالي 0.9138 أو 91.38٪.

مثال السؤال 3: القيمة المتوقعة والتباين

سؤال :
احسب القيمة المتوقعة والتباين لعدد المكونات التي تجتاز اختبار الجودة من أصل 10 مكونات منتجة، باحتمالية نجاح تبلغ 0.95.

مناقشة :
استخدم الصيغة التالية:
– القيمة المتوقعة (المتوسط) \( \mu = np \)
– التباين \( \sigma^2 = np(1-p) \)

مع \( n = 10 \) و \( p = 0.95 \):
\[
μ = 10 × 0.95 = 9.5
\]
\[
σ² = 10 × 0.95 × 0.05 = 0.475
\]

إذن، القيمة المتوقعة لعدد المكونات التي تجتاز اختبار الجودة هي 9.5، والتباين هو 0.475.

استنتاج

من خلال الأمثلة الثلاثة المذكورة أعلاه، ناقشنا كيفية حساب الاحتمالات باستخدام التوزيع ذي الحدين في حالات مختلفة: حساب الاحتمال الدقيق، والاحتمال التراكمي، وحساب القيمة المتوقعة والتباين. تُعدّ معرفة التوزيع ذي الحدين مفيدة في مجالات متنوعة، كالتصنيع، والبحوث الطبية، والإحصاء الاجتماعي، حيث يمكن تحليل نتائج التجارب المتكررة ذات النتيجتين المحتملتين لدعم عملية اتخاذ القرارات. نأمل أن تُسهم الأمثلة والمناقشات المُقدّمة في تعزيز فهمكم للتوزيع ذي الحدين.