أمثلة على أسئلة تناقش المتسلسلات الحسابية
المتتابعات الحسابية مفهوم أساسي في الرياضيات، يظهر بكثرة في مسائل متنوعة، سواء في المرحلة الثانوية أو الجامعية. يتضمن هذا المفهوم متتابعة من الأعداد، حيث يكون كل حد ناتجًا عن إضافة أو طرح عدد ثابت من الحد السابق. في هذه المقالة، سنناقش عدة أمثلة وحلولها لفهم مفهوم المتتابعات الحسابية بشكل أعمق.
فهم المتسلسلات الحسابية
المتسلسلة الحسابية هي متسلسلة يكون فيها الفرق بين حدين متتاليين ثابتًا. على سبيل المثال، إذا كانت المتسلسلة الحسابية تتكون من الحد الأول (أ) والفرق (د)، فيمكن كتابة الحدود كما يلي:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
إذا أردنا إيجاد الحد النوني لهذه المتسلسلة، فإن صيغة الحد النوني (\(U_n\)) هي:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
في الوقت نفسه، يمكن حساب مجموع أول n حد من متسلسلة حسابية (\(S_n\)) باستخدام الصيغة التالية:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Contoh Soal dan Pembahasan
مثال على السؤال 1
السؤال: إذا كانت لدينا متسلسلة حسابية حدها الأول (أ = ٥) وفرقها المشترك (د = ٣)، فأوجد الحد العاشر من المتسلسلة.
مناقشة:
لإيجاد الحد العاشر (\(U_{10}\))، يمكننا استخدام صيغة الحد النوني:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
إذن، الحد العاشر من المتسلسلة هو 32.
مثال على السؤال 2
السؤال: أوجد مجموع أول 15 حدًا من المتسلسلة الحسابية التي حدها الأول هو \(a = 4\) وفرقها المشترك هو \(d = 7\).
مناقشة:
لإيجاد مجموع أول 15 حدًا (\(S_{15}\))، يمكننا استخدام صيغة مجموع أول n حدًا:
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = 15 \cdot 53 \]
S15 = 795
إذن، مجموع أول 15 حدًا من المتسلسلة هو 795.
مثال على السؤال 3
السؤال: من المعروف أن الحد الخامس من متسلسلة حسابية هو 20 والحد الثاني عشر هو 48. أوجد الحد الأول (أ) والفرق المشترك (د) للمتسلسلة.
مناقشة:
انطلاقاً من الشروط المعطاة:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
لدينا معادلتان خطيتان بمتغيرين يمكننا حلهما:
1. (أ + 4د = 20)
2. (أ + 11د = 48)
من المعادلة 1، يمكننا التعبير عن \(a\) بدلالة \(d\):
\[ a = 20 – 4d \]
والآن نستبدل \(a\) في المعادلة 2:
[20 – 4d + 11d = 48]
[20 + 7d = 48]
[7d = 28]
\[ د = 4 \]
والآن نستبدل قيمة \(d\) في المعادلة \(a = 20 – 4d\):
\[ a = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[ a = 20 – 16 \]
\[أ = 4 \]
إذن، الحد الأول من المتسلسلة هو 4 والفرق المشترك هو 4.
مثال على السؤال 4
السؤال: كم عدد الحدود اللازمة لمتسلسلة حسابية حدها الأول \(a = 2\) وفرقها المشترك \(d = 5\) بحيث يكون مجموعها 200؟
مناقشة:
في هذه الحالة، نحتاج إلى إيجاد مجموع أول n حد (\(S_n\)) الذي يساوي 200. استخدم صيغة مجموع أول n حد:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
استبدل قيمتي \(a\) و \(d\):
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n - 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n - 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]
هذه معادلة تربيعية. لحلها، نغير شكلها:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
استخدم الصيغة التربيعية \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
في هذه الحالة \(a = 5\)، \(b = -1\)، و \(c = -400\):
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
إذن، قيمة \(\sqrt{8001}\) قريبة من 89.42:
\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
نأخذ القيم الموجبة:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \approx \frac{90.42}{10} \]
\[ n \approx 9.042 \]
إذن، عدد الحدود المطلوبة هو 9 حدود (إذا تم تقريبها).
استنتاج
تُعدّ المتتابعات الحسابية موضوعًا بالغ الأهمية في الرياضيات. إنّ الفهم العميق للحد الأول، والفرق المشترك، والحد النوني، ومجموع الحدود النونية الأولى، أمرٌ لا غنى عنه لحلّ طيف واسع من المسائل. ومن خلال الأمثلة والمناقشات المذكورة أعلاه، نأمل أن يكتسب القراء فهمًا أفضل للمفاهيم الأساسية للمتتابعات الحسابية.
